11 août 2014

Le système Proie-prédateur ou pourquoi une espèce en mauvaise posture peut revivre….

Par

«  Eh m’sieur à quoi ça sert les fonctions ? »

Souvent bien démuni face à mes élèves de 3e, je ne savais trop quoi leurs répondre. Vaguement, je leur parlais de la modélisation de situation concrète, mais j’avais peu d’exemples sous la main, et les exemples exploitables par les 3e sont trop simplistes.Les fonctions linéaires ou affines modélisent des situations que l’on peut résoudre sans passer par elles.

Alors récemment je me suis souvenu d’un travail d’exploration que j’avais fait à la FAC sur la modélisation de la variation d’une population de chat face à un virus.

C’était un module d’informatique appliqué aux mathématiques, l’exercice faisait appel à l’équation de Lotka-Volterra, équation dite « proie-prédateur ».

Equation de Volterra :

blogequationvolterra

Historiquement cette équation modélisait les variations de la population de lièvres et de lynx.

Volterra voulait justifier que la population des lynx variait de manière cyclique et ce en relation totale avec celles des lièvres.

350px-Serengeti_Lion_Running_saturatedCes cycles s’explique quantitativement lorsqu’il y a beaucoup de lièvres, les prédateurs se multiplient puisque la « nourriture » est abondante. Comme la population des prédateurs augmente, le besoin en nourriture augmente d’autant plus, si bien que la population de lièvres finit par décroître (le taux de naissance ne compensant plus). Comme la nourriture baisse, les prédateurs sont trop nombreux et n’ont pas assez de nourriture pour survivre, leur population décroit.

Comme les prédateurs sont moins nombreux, la population des lièvres augmente etc.…

Mais Volterra voulait aller plus loin et chiffrer cela.

Et puis se posait la question de l’équilibre entre les deux espèces, y-a-t-il possibilité que la population des prédateurs et des proies sont constantes ?

Il a donc écrit une équation régissant ce principe.

X’=a*X-e*XY
Y’=(e*c)*XY-d*Y

 

x’et y’ sont des dérivées ( pour les nons-matheux, on peut dire très rapidement que cela correspond à l’évolution de la population pour un très petit intervalle de temps)

Je vais tenter d’être clair dans l’explication des constantes :

  • le coefficient a : le nombre de naissance de proies par individus vivants dans cet intervalle de temps
  • le coefficient e : le taux de rencontre entre proies et prédateurs , ce qui correspond au taux de proies décédées dans cet intervalle de temps (il dépend du nombre de proies et de prédateurs)
  • le coefficient c : le taux de conversion de biomasse des proies vers les prédateurs
  • le coefficient d : le taux de prédateurs décédés de mort naturelle en cas de non nourriture.

Si on n’ajoute rien de plus à cette équation, on se rend compte que la population de proies et celle des prédateurs sont cycliques..

Cependant l’idée est d’ajouter un autre facteur celui de la pollution qui tue petit à petit aussi bien les proies que les prédateurs.

On remarque alors que les populations de proies et prédateurs conservent d’allure leurs cycles, mais ces cylcles « dégénèrent » jusqu’à ce qu’une espèce meurt.

X’=(a-p)*X-e*XY
Y’=(e*c)*XY-(d+p)*Y

 

 

Voici le programme permettant de visualiser les cycles, pour une meilleure qualité, il faudrait mettre la longueur du pas à 0.0001 pour voir les cycles, mais cela risque de mettre l’ordinateur à genou.

 

Explication du programme :

Deux graphiques :

  • Le premier correspond à la relation entre le nombre de prédateurs et le nombre de proies. Le temps n’est pas en jeu.
  • Le second graphique représente la variation de la population de prédateurs et de proies en fonction du temps.

 

Pour voir les courbes il faut cliquer sur le premier graphique afin de donner une situation de départ, les coordonnées de la souris correspondant à la population initiale de prédateurs et de proies.

 

Dans le premier graphique, vous pouvez tracer ce qu’on appelle le champs de vecteurs, cela correspond à voir l’allure des différentes courbes. Grâce à lui, vous pourrez voir le point d’équilibre.

 

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