Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples.
Notions de variable, d’inconnue.
Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.
Comprendre l’intérêt d’une écriture littérale en produisant et employant des formules liées aux grandeurs mesurables (en mathématiques ou dans d’autres disciplines).
I
Expression littérale
Définition 1 :
Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Exemple 1 :
Longueur d’un cercle : $\pi \times 2 \times r$ où $r$ représente le rayon du cercle et $\pi$ est un nombre constant qui vaut environ 3,14… L’aire d’un carré est donné par $c \times c$ où c représente le côté du carré
Propriété 1 :
Simplification d’une expression littérale : On peut simplifier les expressions en supprimant le signe $\times$ si et seulement s’il est suivi d’une lettre (ou parenthèse) ou en utilisant les puissances.
Exemple 2 :
$x \times 6$ n’est pas simplifiable car le signe $\times$ est suivi de 6 mais on peut procéder comme cela : $x \times 6 = 6 \times x = 6 x$ $\pi \times 2 \times r = 2 \times \pi \times r = 2 \pi r$ $c \times c \times c = c ^3$
II
Calculer la valeur d’une expression littérale et tester une égalité
Définition 1 :
On calcule la valeur d’une expression littérale lorsque l’on attribue une valeur aux lettres contenues dans l’expression. Si une même lettre est utilisée plusieurs fois, on lui attribue le même nombre à chaque fois.
Une égalité est constituée de deux expressions mathématiques appelées « membres » séparées par un signe « = »
Propriété 1 :
On dit qu’une égalité est vraie (ou est vérifiée) si les deux expressions représentent la même quantité.
Exemple 2 :
$5 \times 2 = 4 + 6$ est vraie car $5 \times 2 = 10$ et $4+6=10$ $4 \times 6 = 24+3$ est fausse car $4 \times 6 = 24$ et $24+3=27$
Définition 3 :
Deux expressions littérales sont équivalentes si et seulement si elles sont égales quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres.
Exemple 3 :
${4}x+{6} +{2}x = {2}x \times {3} +{2} \times {3} $ est vraie car ${4}x+{6}+{2}x={4}x+{2}x+{6}={6}x+{6}$ (ajoute dans l’ordre que l’on veut) ${2}x \times {3}+{2} \times {3}={2} \times x \times {3}+{2} \times {3}={2} \times {3} \times x+{2} \times {3}={6} \times x+{6}={6}x+{6}$
Exemple 4 :
${3}x+{6} = {2}(x+{5})$ est fausse car si $x=1$ alors ${3}x+{6}={3} \times {1}+{6}={9}$ et ${2}(x+{5})={2} \times ({1}+{5})={2} \times {6}={12}$
Remarque 1 :
Parfois ces égalités, par exemple 3x+5=7 ou 4x+4=7x+2, peuvent être égales pour certaines valeurs de x, on parle d'équations.
III
Développement et factorisation
Propriété 1 :
Formule de la distributivité : $k \times (a+b)=k \times a+k \times b$ $k \times (a-b)=k \times a-k \times b$
Définition 1 :
Développer une expression littérale ou numérique, c’est transformer un produit en somme ou différence.
Exemple 1 :
Développer $A = {4} \times 12$ C’est un produit de 4 par 12 $A = {4} \times (10+2)$ C’est un produit de 4 par (10+2) $A = 4 \times 10+ 4 \times 2$ $A = 40 + 8$ C’est une somme de 40 et 8
Définition 2 :
Factoriser une expression littérale ou numérique, c’est transformer une somme ou une différence en un produit, c’est l’inverse du développement.
Exemple 2 :
$A = \textbf{5} \times x + \textbf{5} \times {3}$ On détecte le facteur commun aux deux produits $A = {5} \times (x+{3})$ On écrit entre parenthèses les deux autres facteurs. Si les produits ne sont pas apparents, il faut les faire apparaître. $B = {24} -{4}x$ $B = {4 \times 6} -{4} \times x$ $B = {4 \times (6 -x)}$
IV
Réduction
Définition 1 :
Réduire une somme, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles (en regroupant les termes de même espèce). Réduire un produit, c’est l’écrire avec le moins de facteurs possibles.
Réduction d'une somme $A = {4}x+ {6}y -{7}x +{4}x^{2} - {5}y $ Je transforme les soustractions en additions $A = {4}x+{6}y+(-{7}x) +{4}x^{2}+(-{5}y)$Je regroupe les termes de même espèce, ceux ayant la même partie littérale $A = {4}x+(-{7}x)+{6}y+(-{5}y) +{4}x^{2}$ Je calcule $A = {-3}x+{1}y +{4}x^{2}$
Exemple 3 :
Réduction d'un produit $B = {5} \times {3}x \times y \times {4}x^{2}$ Je rajoute les signes $\times$ $B = {5} \times {3}\times x \times y \times {4}\times x^{2}$ Je réordonne les facteurs, lettres à droite. $B = {5} \times {3}\times {4} \times x \times x^{2} \times y $ Je calcule et réduis $B =60 \times x^{3} \times y $ Je supprime les signes $\times$ qui sont devant des lettres. $B =60 x^{3} y $
V
Addition d’une somme et soustraction d’une somme
Propriété 1 :
Addition d’une somme : Additionner une somme revient à ajouter chacun de ses termes.
(rappel) :- Multiplier par (-1) revient à prendre l’opposé d’un nombre. - Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Exemple 2 :
$A=5-(4x+5)$ →Je soustrais la somme $4x+5$ ajoute donc l’opposé de cette somme. Ce qui revient à ajouter cette somme multipliée par (-1) $A=5+(-1) \times (4x+5)$ $A=5+(-1) \times 4x+(-1) \times 5$ $A=5+(- 4x)+(-5)$
Propriété 2 :
Soustraction d’une somme : Soustraire une somme revient à soustraire chacun de ses termes.
Exemple 3 :
$ A = {4} – ({3}x + (-{5}) ) $ $ A = {4} -{3}x -(-{5}) $
Exemple 4 :
VI
Double distributivité et identités remarquables
A
Double distributivité
Propriété 1 :
Double distributivité : $(a+b)(c+d) = a \times c+a \times d + b \times c+b \times d $
Comprendre :
D'où cela vient? L’aire du rectangle est donnée à la fois par : $(a+b)(c+d) $ et $a \times c+a \times d + b \times c+b \times d$ (la somme des aires de chaque rectangle)
Exemple 1 :
$A = ({x}+{6})({3}x+{1})$ Je développe. $A= x \times {3}x + x \times {1}+ 6 \times {3}x+ 6 \times {1}$ Je réduis les produits. $A= {3}x^2+ x + 18x+ 6)$ Je réduis la somme. $A= {3}x^2+ 19 x +6)$
Exemple 2 :
$B = ({5}x-{6})({2}x+{1})$ Je transforme les soustractions en additions.. $B = ({5}x \textbf{+(-6)})({2}x+{1})$ Je développe. $B= {5}x \times {2}x+{5}x \times {1}+(-{6}) \times {2}x+(-{6}) \times {1}$ Je réduis les produits. $B= {10}x^2+{5}x +(-{12}) x+(-{6})$ Je réduis la somme. $B= {10}x^2+(-{7}) x+(-{6})$
Exemple 3 :
Exemple 4 :
B
Identités remarquables
Propriété 1 :
Les identités remarquables (seule la première est au programme): $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Remarque 1 :
Ces propriétés servent à factoriser rapidement et aussi développer.
On veut montrer que la somme de 3 nombres consécutifs est toujours divisible par 3, on peut utiliser le calcul littéral. Démonstration : Soit un entier $n$ quelconque. Alors $n-1$ est le nombre précédent et $n+1$ le nombre suivant. Si je les ajoute, j’additionne bien 3 entiers consécutifs. $(n-1)+n+(n+1)= n+(-1)+n+n+1 = n+n+n+(-1)+1 = 3n$ $ 3n$ est un nombre divisible par 3. CQFD.
