Divisibilité

Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier.
Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.
Division euclidienne (quotient, reste).
Multiples et diviseurs.
Notion de nombres premiers.

Définitions

Définition 1 :

Dire que $a$ est un multiple de $b$ signifie qu’il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$
On dira également que $b$ divise $a$ ou que $b$ est un diviseur de $a$.

Exemple 1 :

$18 = 6 \times 3 $ donc 18 est un multiple de 3 ( et aussi un multiple de 6)
6 divise 18 et 3 divise 18. 6 et 3 sont des diviseurs de 18.

Remarque 1 :

1 divise tous les nombres entiers et par conséquent, tous les nombres sont leurs propres multiples.
Par exemple, $12=12 \times 1$ donc 1 divise 12 et 12 est un multiple de ... 12.

Critères de divisibilité

Propriété 1 :

Un nombre est divisible par 2 si : le chiffre des unités est 0,2,4,6 ou 8.
* Un nombre est divisible par 3 si : la somme des chiffres du nombre est divisible par 3
* Un nombre est divisible par 5 si : le chiffre des unités est 5 ou 0.
* Un nombre est divisible par 9 si : la somme des chiffres du nombre est divisible par 9
* Un nombre est divisible par 10 si : le chiffre des unités est 0.

Exemple 1 :

3345 est divisible par 5 (l’unité est 5)
et par 3 (3+3+4+5=15 et 15 est divisible par 3)

III

Nombres premiers

Définition 1 :

Un nombre entier est premier s’il n’admet que deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.

Exemple 1 :

Les nombres premiers sont : 2,3,5,7,11,13,17 …. 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur.

Diviseurs communs

Définition 1 :

On dit qu’un nombre $d$ est un diviseur commun à $a$ et $b$ si $a$ et $b$ sont divisibles par $d$.

Exemple 1 :

2,3,5 sont des diviseurs communs à 60 et 90.

Décomposition

Propriété 1 :

On peut toujours décomposer un nombre non premier en produit de plusieurs facteurs premiers, cette décomposition est unique.

Exemple 1 :

$324 = 2 \times 162$
$ = 2 \times 2 \times 81 $
$= 2 \times 2 \times 3 \times 27 $
$= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 9 $
$= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 $
$= 2^2 \times 3^4 $

Remarque 1 :

La décomposition permet de simplifier les fractions de manière maximale, on parle alors de fractions irréductibles.

Exemple 2 :

$ {135 \over 63} = {{3 \times 3 \times 3 \times 5} \over {3 \times 3 \times 7}} ={{3 \times 5} \over 7} = {15 \over 7} $

QUIZZ

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12366 est divisible par	2	3	5	9	4
126 a pour diviseur	2	3	5	9	4
4590 est un multiple de :	2	3	5	9	4
321 est divisible par	2	3	5	9	4
3125 a pour diviseur	2	3	5	9	4
2124 est un multiple de :	2	3	5	9	4
7122 est un multiple de :	2	3	5	9	4
12 et 18	ne sont pas premiers entre eux	sont premiers entre eux	ont 4 diviseurs en commun	ont 3 diviseurs en commun	ont 5 diviseurs en commun
La décomposition en facteurs premiers de 60 est	$ 2 \times 2 \times 3 \times 5$	$ 4 \times 3 \times 5$	$ 1 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$	$ 2^2 \times 3 \times 5$	$ 1 \times 4 \times 3 \times 5$