- Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.
- Résoudre des équations du premier degré.
- Notions de variable, d’inconnue.
- Tester sur des valeurs numériques une égalité littérale pour appréhender la notion d’équation.
Problème :
« Parmi les nombres, on choisit un nombre, on le multiplie par 3, puis on ajoute 7. On obtient comme résultat : 1. »
En désignant le nombre choisi par $x$, l’énoncé peut s’écrire par l’égalité : $3x+7=1$
Définition 1 :
À l’aide de l’exemple :
L’égalité $3x+7=1$ est une
équation.
Le
premier membre (ou membre de gauche) de l’équation est $3x+7$.
Le
second membre (ou membre droite) de l’équation est $1$ .
Le nombre $x$ figurant dans l’équation s’appelle
l’inconnue.
Rechercher pour quelles valeurs de l’inconnue $x$, l’égalité $3x+7=1$ est vérifiée s’appelle
résoudre l’équation.
Le seul nombre qui vérifie $3x+7=1$ est $-2$ car $3 \times \textbf{(-2)} +7=1$
Le nombre $-2$ est donc la solution de l’équation.
Propriété 1 :
A partir d’une égalité, on obtient une égalité équivalente si on ajoute ou on retranche un même nombre à chaque membre.
Exemple 1 :
On considère l’équation $x+8=3$
On peut soustraire le nombre 8 à chacun des membres.
$x+8=3$
$x+8 \textbf{-8}= 3 \textbf{- 8}$
$x=-5$
Exemple 2 :
On considère l’équation $y-6=9$
On peut ajouter le nombre 6 à chacun des membres.
$y-6=9$
$y-6 \textbf{+6}=9\textbf{+6}$
$y=15$
Propriété 2 :
A partir d’une égalité, on obtient une égalité équivalente si on multiplie ou divise chaque membre par un même nombre (différent de zéro).
Exemple 3 :
On considère l’équation $7 x = 4$.
On divise par 7 chacun des deux membres :
${{7 x} \over \textbf{7}} = {4 \over \textbf{7}}$
$x= { 4 \over 7}$
Exemple 4 :
On considère l’équation ${t \over 4 }= 9$.
On multiplie par 4 chacun des deux membres :
${\textbf{4} \times {t \over 4}}={ \textbf{4} \times 9}$
$t=36$
III
Méthode de résolution
A
Équations de la forme $ax+b=c$
Exemple 1 :
Soit l’équation $3x-7=5$ :
| Sur la feuille | Au brouillon |
 |  |
La solution de l’équation est : $x=4$
B
Équations de la forme $ax+b=cx+d$
Exemple 1 :
| Sur la feuille | Au brouillon |
 | Au brouillonJe cherche comment « éliminer les $x$ dans le
membre de gauche ou de droite.»
Ici on a choisit d’enlèver $5 x$ dans chaque
membre pour supprimer le « $5 x$ » à droite.
Ensuite on résout comme dans la partie précédente
 |
La solution de l’équation est : $x=-5$
Dans le cas d’équation qui ne sont pas de ces formes, on développe et réduit les membres d’abord.
Propriété 1 :
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Exemple 1 :
$(5x-1)(3x+1)=0$
C’est une équation produit nul donc
On a : $5x-1=0$ ou $3x+1=0$
$5x-1=0$
$5x-1+1=0+1$
$5x=1$
${{5x} \over 5}={1 \over 5}$
$x={1 \over 5}$ | $3x+1=0$
$3x+1-1=0-1$
$3x=-1$
${{3x} \over 3}={-1 \over 3}$
$x={-1 \over 3}$
|
L’équation a deux solutions : ${1 \over 5}$ et ${-1 \over 3}$.
V
Équation de la forme $ x² = a $
Propriété 1 :
Les solutions d'une équation du type $x²=a$ ($a$ étant connu) dépendent de la valeur de $a$.
- Si $a>0$, il y a deux solutions $x=\sqrt a$ et $x=- \sqrt a$
- Si $a=0$, il y a une seule solution $x=0$.
- Si $a<0$, il n'y a pas de solution réelle.
Exemple 1 :
Résoudre $x²=5$
Les solutions de l'équation sont $\sqrt 5$ et $-\sqrt 5$.
Exemple 2 :
Résoudre $x²=-3$
Cette équation n'a pas de solution réelle.
Exemple 3 :
Résoudre $x²=0$
L'unique solution de l'équation est $0$.
