Fonctions

  • Modéliser des phénomènes continus par une fonction.
  • Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions (équations, inéquations).
  • Dépendance d’une grandeur mesurable en fonction d’une autre.
  • Notion de variable mathématique.
  • Notion de fonction, d’antécédent et d’image.
  • Notations f(x) et x → f(x).
  • Cas particulier d’une fonction linéaire, d’une fonction affine.
I
Notion de fonction
Définition 1 :
Une fonction $f$ permet d'associer à un nombre $x$, un nombre unique transformé que l'on note $f(x)$.


Exemple 1 :
La « machine » qui à un nombre fait correspondre la moitié de celui-ci augmentée de 1 est une fonction.
Au nombre initial 5, je trouverai le nombre transformé 3,5. ( ${5 \over 2}+1 = 3,5$ )
Au nombre initial -2 , je trouverai 0 ( ${-2 \over 2}+1 = 0$ )
On peut résumer ces résultats dans un tableau de valeurs
$x$
(nombre initial)
-25610
$f(x)$
(nombre transformé)
03,546
Ici, de façon générale au nombre initial $x$ , le nombre transformé associé est ${x \over 2 }+1$
Définition 2 :
Notations :
Appelons $g$ la fonction qui à un nombre fait correspondre la moitié de lui-même augmentée de 1.
On notera ${\underbrace{g : 5 \mapsto 3,5}_\textrm{« La fonction g associe 5 à 3,5 »}} \textrm{ ou } {\underbrace{g(5)=3,5}_\textrm{« g de 5 égal 3,5»}}$
Pour définir la fonction $g$, on écrira également :
${\underbrace{g : x \mapsto {x \over 2} +1}_{\textrm{« La fonction g associe }x\textrm{ à }{{x \over 2} +1} \textrm{»}}} \textrm{ ou } {\underbrace{g(x)={x \over 2} +1}_{\textrm{« g de } x \textrm{ égal }{{x \over 2} +1} \textrm{»}}}$
II
Vocabulaire
Cette fonction $g$ , au nombre 6 fait correspondre le nombre 4 (${6\over 2}+1$).
Définition 1 :
On dit que l’image de 6 par la fonction est 4 (c'est le nombre transformé). Cette image est unique.
On dit que l’antécédent de 4 par la fonction est 6 (c'est le nombre initial).


Exemple 1 :
Soit le tableau de valeurs de la fonction $h$ , définie par $h(x)=x^2 -3$

L’image de -3 est 6, l’image de -1 est -2.
L’antécédent de -3 est 0. Les antécédents de -2 sont 1 et -1.

Remarque 1 :
Un nombre ne peut avoir qu'une image mais il peut avoir plusieurs antécédents.
III
Représentation graphique
Définition 1 :
Dans un repère, la courbe représentative, ou représentation graphique , d'une fonction f est formée de tous les points M de coordonnées $(x;y)$ avec $y=f(x)$.
Les coordonnées de M sont de la forme $(x;f(x))$
Remarque 1 :
On lit les images sur l'axe des ordonnées et on lit les antécédents sur l'axe des abscisses.
Exemple 1 :
Soit la fonction $f : x \mapsto {x^2} -1$.
Dans un repère, la courbe représentative de f est constituée de points de coordonnées $(x;f(x))$ où $f(x)=x^2-1$.
Le point A de coordonnées $(0;-1)$ appartient à la courbe de $f$ en effet $f(0)=-1$.
B de coordonnées $(2;3)$ appartient à la courbe $f$ car
$f(2)=2^2-1=4-1=3$
Le point C de coordonnées $(2,5;5)$ n'appartient pas à la courbe représentative de $f$ car
$f(2,5)=2,5^2-1=6,25-1=5,25 \ne 5$

Exemple 2 :

IV
Fonction linéaire
Définition 1 :
Une fonction $f$ est dite linéaire si elle est définie par une formule du type :
$f : x \mapsto a x$
où $a$ est un nombre connu appelé coefficient linéaire.
Exemple 1 :
La fonction $g$ définie par $g(x)=2x$ ou $g:x \mapsto 2 x$ est une fonction linéaire de coefficient 2 .
Propriété 1 :
Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité donc le coefficient linéaire est le coefficient de proportionnalité.
Exemple 2 :
La fonction définie par $g(x)=2x$ ou $g:x \mapsto 2 x$ a pour tableau de valeurs :


Propriété 2 :
Conséquence :
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.
Pour tracer une fonction linéaire, il suffit seulement de placer un point de la courbe. Ici le point A(1;2) appartient à la courbe.
En effet $g(1)=2 \times 1=2$

Exemple 3 :
V
Fonction affine
Définition 1 :
Une fonction f est dite affine si elle est définie par une formule du type :
$f : x \mapsto a x + b$
où $a$ est un nombre connu appelé coefficient directeur.
et $b$ est un nombre connu appelé ordonnée à l’origine.
Exemple 1 :
La fonction $f$ définie par $f(x)=2x+1$ ou $f:x \mapsto 2 x +1$ est une fonction affine de coefficient directeur 2 et d'ordonnée à l'origine 1.
Propriété 1 :
Cas particuliers : -Une fonction affine $f : x \mapsto a x + b$ est linéaire si b= 0 car on a $f : x \mapsto a x$
-Une fonction affine $f : x \mapsto a x + b$ est constante si a= 0 car on a $f : x \mapsto b$
Propriété 2 :

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
Pour tracer une fonction affine, il suffit seulement de placer deux points de la courbe. Ici le point A(1;3) appartient à la courbe.
En effet, $f(1)=2 \times 1 + 1 = 3$
et B(2;5) appartient également à la courbe.
$f(2)=2 \times 2 + 1 = 5$

Exemple 2 :

QUIZZ

Cliquer sur les réponses de votre choix.
Soit f(x)=3x alors f est linéaire. f est affine.f est constante.f n'est pas affine.
Soit g(x)=-3x +2 alorsg est linéaire. g est affine.g est constante.g n'est pas affine.
Soit g(x)=-3x +2 alors 2 est l'image de 0l'image de -4 est l'antécédent de -4l'antécédent de 0
Soit h la fonction représentée ci-contre h(x)=3x + 1h(x)=-x+3h(x)=-1x+3h(x)=3x-1
Soit h la fonction représentée ci-contre h(-1) = 0h(0)=-1h(1)=2h(2)=1