Les Fractions et quotient

  • Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels.
  • Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée.
  • Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire.
  • Égalité de fractions.
  • Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre.
  • Calculer avec des fractions (somme, différence,produit, quotient).
I
Définition-Vocabulaire
Définition 1 :
Soit deux nombres n et d ($ d \ne 0$). Le quotient de n par d est le nombre qui multiplié par d, donne n. On peut l’écrire en écriture fractionnaire : $n \over d$ . n est appelé le numérateur et d le dénominateur.
$n \over d$ est en conséquence aussi le résultat de la division de n par d.
$n \div d = {n \over d }$
Exemple 1 :
Je multiplie le nombre 5 par $6 \over 5$ pour obtenir 6  : $5 \times {6 \over 5} = 6$
Le quotient de 8 par 9 est $8 \over 9$.
Définition 2 :
Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.
II
Écritures fractionnaires égales
Propriété 1 :
Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
${a \over b} = {{a \times k} \over {b \times k}} = {{a \div d} \over {b \div d}}$
Exemple 1 :
${5 \over 7} ={{5 \times 8} \over {7 \times 8 }} = {40 \over 56} $
${110 \over 30} = {{110 \div 10 } \over {30 \div 10}} = {11 \over 3}$ (on dit que la fraction a été simplifiée)
Propriété 2 :
Un nombre a est divisible par un nombre b si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est 0, ceci permet de démontrer des critères de divisibilité.
En conséquence a divise b, si on a : $a= b \times k + {0}$ ou $a= b \times k$
Pour trouver par quoi on peut diviser le numérateur et dénominateur de la fraction, on peut utiliser les critères de divisibilité : voir chapitre divisibilité
III
Comparaison de fractions
Propriété 1 :
Pour comparer des fractions, on peut 
Les réduire au même dénominateur et comparer les numérateurs (le sens de l’inégalité sera identique pour les fractions)
Exemple 1 :
Comparer $6 \over 4$ et $14 \over 12$ :
On réduit au même dénominateur (12) : $ {6 \over 4} ={ {6 \times 3} \over {4 \times 3}} ={ 18 \over 12}$
On compare donc $18 \over 12$ et $14 \over 12$ or $18>14$
donc ${18 \over 12} >{14 \over 12}$
donc ${6 \over 4} >{14 \over 12}$
Propriété 2 :
Pour comparer des fractions, on peut 
Les réduire au même numérateur et comparer les dénominateurs (le sens de l’inégalité sera l’inverse de celui des fractions).
Exemple 2 :
Comparer $8 \over 12$ et $16 \over 20$ :
$ {8 \over 12} = {{8 \times 2}\over {12 \times 2}}= {16 \over 24}$, on compare donc $16 \over 24$ et $16 \over 20$ or $24>20$
donc ${16 \over 24} < {16 \over 20}$ donc ${8 \over 12}<{16 \over 20}$.
Propriété 3 :
Pour comparer des fractions, on peut 
Comparer leurs écritures décimales.
Exemple 3 :
Comparer $5 \over 2$ et $7 \over 4$ :
${5 \over 2} = {5 \div 2}={2,5}$ et ${7 \over 4}={7 \div 4}={1,75}$
donc comme ${2,5}>{1,75}$ alors ${5 \over 2}>{7 \over 4}$
Propriété 4 :
Pour comparer des fractions, on peut 
Les placer sur un axe gradué.
Exemple 4 :
IV
Égalité des produits en croix
Propriété 1 :
Deux écritures fractionnaires sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux.
On a : ${a \over b} = {c \over d}$ si et seulement si $a \times d = b \times d$.
Exemple 1 :
Regardons si $7 \over 8$ et $35 \over 40$ sont égales.
Les produits en croix sont : $7 \times 40$ et $8 \times 35$
$7 \times 40 = 280$ et $8 \times 35 = 280$ .
Donc ${7 \over 8} = {35 \over 40}$
Exemple 2 :
Compléter : ${23 \over 15}={207 \over ...}$
On sait que les fractions sont égales donc ${23 \times ... }={15 \times 207}$ .
Appelons b le nombre cherché.
${23 \times b }={15 \times 207}$
D’où ${23 \times b }={3105}$
b est le nombre qui multiplié par 23 donne 3105, donc $b = {3105 \over 23} = 135$
V
Valeur approchée d’un quotient
Définition 1 :
A un rang donné :
- La troncature d’un nombre est sa valeur approchée par défaut.
- L’arrondi d’un nombre est, de sa valeur approchée par défaut ou par excès, celle qui est la plus proche.
Exemple 1 :

Nous allons procéder aux encadrements de $23 \over 7$ et $23 \div 7 \approx 3,285714286$
RangEncadrement par les valeurs approchées
par défaut et par excès
TroncatureArrondiAxe gradué
A l'unité$3<{23 \over 7}<4$33
Au dixième$3,2<{23 \over 7}<3,3$3,23,3
Au centième$3,28<{23 \over 7}<3,29$3,283,29
Au millième$3,285<{23 \over 7}<3,286$3,2853,286

VI
Opérations avec les écritures fractionnaires
Propriété 1 :
Addition/soustraction :
Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, il faut :
- les réduire au même dénominateur (si ce n’est pas le cas)
- ajouter/soustraire les numérateurs et garder le dénominateur.
Exemple 1 :
${2 \over 3} + {5 \over 3} = {7 \over 3}$
$ {3 \over 6}+{4 \over 18} = {{3 \times \textbf{ 3}} \over{6 \times \textbf{ 3}}}+{4 \over 18} = {9 \over 18}+{4 \over 18}={13 \over 18}$
$ {{3 \over 7}-{2 \over 10}} = {{3 \times \textbf{ 10}}\over{7 \times \textbf{ 10}}} – {{2 \times \textbf{ 7}} \over {10 \times \textbf{ 7}}} = {{30 \over 70}-{14 \over 70}} = {16 \over 70}$
Propriété 2 :
Multiplication :
Pour multiplier deux nombres en écritures fractionnaires, il faut :
- multiplier les numérateurs entre eux.
- multiplier les dénominateurs entre eux.
Exemple 2 :
${{3 \over 4} \times {5 \over 6}}={{{3} \times {5}}\over{{4} \times {6}}} = {15 \over 24}$
Définition 1 :
Deux nombres sont inverses lorsque leur produit vaut 1. Cela revient à « inverser » le dénominateur et le numérateur.
Exemple 3 :
$3 \over 4$ a pour inverse $4 \over 3$
5 (ou $5 \over 1$ ) a pour inverse $1 \over 5$.
Propriété 3 :
Division :
Diviser par un nombre en écriture fractionnaire revient à multiplier par son inverse.
Comprendre :
Pour comprendre d'où cela vient. Voici un exemple de calcul :
${{7 \over 3} \div {2 \over 11}} = {{7 \over 3} \over {{2 \over 11} }}= {{7 \over 3} \times \mathbf{ {11 \over 2}} \over {{2 \over 11} \times \mathbf{{ 11 \over 2 }}}} = {{{{7 \times 11} \over {3 \times 2}} } \over {1}} ={{{77} \over {6} } \over {1}}={{77} \over {6} } $
En somme, on n'a seulement calculé ${{7 \over 3} \div {2 \over 11}} ={{7 \over 3} \times {11 \over 2}}={{77} \over {6} } $
Exemple 4 :
${{4 \over 5} \div {7 \over 6}} = {{4 \over 5} \times {6 \over 7}} = {{{4 \times 6}}\over{{5 \times 7}}} = {24 \over 35}$
${{5 \over 6} \div 7} = {{5 \over 6} \div {7 \over 1}} = {{5 \over 6} \times {1 \over 7}} = {{5 \times 1}\over{6 \times 7}} = {5 \over 42}$
Exemple 5 :

QUIZZ

Cliquer sur les réponses de votre choix.
Simplifier au maximum si possible ${90 \over 54} $$3 \over 2$ ${5 \over 3}$${10 \over 6}$${30 \over 18}$
Calculer $ {11 \over 4} + {9 \over 2} $ ${29 \over 4}$${20 \over 4}$${20 \over 2}$${20 \over 6}$
Calculer $ {11 \over 6} - {9 \over 2} $${16 \over 6}$ ${- 8 \over 3}$ ${- 16 \over 6}$${2 \over 4}$
Calculer $ {7 \over 6} \times {3 \over 2} $${63 \over 6}$${63 \over 36}$${21 \over 12}$${7 \over 4}$
Calculer $ {7 \over 6} \times {3 \over 2} $${63 \over 6}$${63 \over 36}$${21 \over 12}$${7 \over 4}$
Calculer $ {7 \over 6} \times {9 \over 2} $${21 \over 4}$${ 189 \over 6}$${ 63 \over 6}$${63 \over 12}$
Calculer et simplifier $ {1 \over 5} \div {3 \over 4} $${4 \over 15}$${15 \over 4}$${3 \over 20}$${20 \over 3}$
Calculer et simplifier $ {5 \over 6 }+ {1 \over 6} \times {2 \over 9} $${2 \over 9}$${12 \over 54}$${47 \over 54}$${7 \over 54}$