Propriété 1 :
Théorème de Thalès : Si, deux droites parallèles coupent deux droites sécantes alors elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
Remarque 1 :
Cela revient à dire que les triangles formés sont semblables.
Exemple 1 :
Dans les deux cas : (ED) est parallèle à (BC), E appartient à (AB) et D appartient à (AC), d’après le théorème de Thalès, on a :
${AD \over AC}={AE \over AB}={ED \over BC}$
Exemple 2 :
Soit la configuration suivante.
On donne AD=3 cm, AC=5 cm, AE=4cm et BC=4cm.
Calculer AB et ED.
On sait que : - D appartient à (AC)
- E appartient à (AB)
-(ED) et (BC) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès :
${AD\over AC} = {AE \over AB}={ED \over BC}$
${3\over 5} = {4 \over AB}={ED \over 4}$
D’où en utilisant l’égalité des produits en croix,(voir chapitre fraction et quotient) on a :
$3 \times AB=4 \times 5$
$3 \times AB=20$
$ AB={20 \over 3}$
| $3 \times 4=5 \times ED$
$12=5 \times ED$
$ ED={12 \over 5}=2,4$
|
On aurait pu écrire directement
$ AB={4\times 5 \over 3}={20 \over 3}$ $ ED={3\times 4 \over 5}=2,4$
Remarque 2 :
Le théorème de Thalès permet aussi de montrer que
deux droites ne sont pas parallèles (par l’absurde) en montrant qu’il n’y a pas d’égalité, on parlera de
conséquence du théorème de Thalès.
Exemple 5 :
Soit la configuration suivante :
On donne AD=4cm et AC=10cm, AE=2 cm, DE=3cm et BC=7cm.
Montrer que les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.
On a d’une part ${AD \over AC }={4 \over 10}$ et d’autre part ${DE\over BC }={3 \over 7}$
$3 \times 10=30$ et $7 \times 4 = 28$ donc les produits en croix ne sont pas égaux,
donc ${AD\over AC }\ne{DE\over BC }$.
D’après la conséquence du théorème de Thalès, les droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.
Propriété 1 :
Réciproque du théorème de Thalès : Si, d’une part les points A,D,C et d’autre part les points A,E,B sont alignés dans le même ordre et si les deux premiers rapports de Thalès sont égaux (${{AD}\over{AC}}={{AE}\over{AB}}$) alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Remarque 1 :
La réciproque du théorème de Thalès permet
uniquement de montrer que deux droites sont parallèles.
Exemple 1 :
Soit la figure suivante.
AH=4cm AC=5cm AE=6cm et AT=7,5cm.
Montrer que les droites (EH) et (TC) sont parallèles.
On a d’une part ${AH\over AC }={4 \over 5}$ et d’autre part ${AE\over AT }={6 \over 7,5}$
$4 \times 7,5= 30$
$6 \times 5 = 30$
Les produits en croix sont égaux donc ${AH\over AC }={AE\over AT }$.
On sait également que les points A,H,C et A,E,T sont alignés dans le même ordre.
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès (EH) et (TC) sont parallèles.
