- Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier.
- Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.
- Division euclidienne (quotient, reste).
- Multiples et diviseurs.
- Notion de nombres premiers.
Définition 1 :
Dire que $a$ est un
multiple de $b$ signifie qu’il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$
On dira également que $b$
divise $a$ ou que $b$ est un
diviseur de $a$.
Exemple 1 :
$18 = 6 \times 3 $ donc 18 est un
multiple de 3 ( et aussi un multiple de 6)
6 divise 18 et 3 divise 18. 6 et 3 sont des
diviseurs de 18.
Remarque 1 :
1 divise tous les nombres entiers et par conséquent, tous les nombres sont leurs propres multiples.
Par exemple, $12=12 \times 1$ donc 1 divise 12 et 12 est un multiple de ... 12.
II
Critères de divisibilité
Propriété 1 :
Un nombre est divisible par 2 si : le chiffre des unités est 0,2,4,6 ou 8.
Un nombre est divisible par 3 si : la somme des chiffres du nombre est divisible par 3
Un nombre est divisible par 5 si : le chiffre des unités est 5 ou 0.
Un nombre est divisible par 9 si : la somme des chiffres du nombre est divisible par 9
Un nombre est divisible par 10 si : le chiffre des unités est 0.
Exemple 1 :
3345 est divisible par 5 (l’unité est 5)
et par 3 (3+3+4+5=15 et 15 est divisible par 3)
Définition 1 :
Un nombre entier est
premier s’il n’admet que deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.
Exemple 1 :
Les nombres premiers sont : 2,3,5,7,11,13,17 …. 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur.
Définition 1 :
On dit qu’un nombre $d$ est un
diviseur commun à $a$ et $b$ si $a$ et $b$ sont divisibles par $d$.
Exemple 1 :
2,3,5 sont des diviseurs communs à 60 et 90.
Définition 2 :
On dit que deux nombres entiers sont
premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
Exemple 2 :
40 et 51 sont premiers entre eux.
Les diviseurs de 40 sont : 1,2,4,5,8,10,20,40.
Les diviseurs de 51 sont : 1,3,17,51.
Le seul diviseur commun est 1, donc 40 et 51 sont premiers entre eux.Définition 3 :
Parmi les diviseurs communs à deux nombres $a$ et $b$, le plus grand de ces diviseurs est appelé
PGCD de $a$ et $b$ , noté PGCD($a$,$b$).
Exemple 3 :
30 est le PGCD de 90 et 60. On écrit PGCD (60;90)=30.
Propriété 1 :
On peut toujours décomposer un nombre non premier en produit de plusieurs facteurs premiers, cette décomposition est unique.
Exemple 1 :
$324 = 2 \times 162$
$ = 2 \times 2 \times 81 $
$= 2 \times 2 \times 3 \times 27 $
$= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 9 $
$= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 $
$= 2^2 \times 3^4 $