- Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples.
- Calculer des probabilités dans des cas simples.
- Notion de probabilité.
- Quelques propriétés : la probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1 ;
- probabilité d’évènements certains,impossibles, incompatibles, contraires.
Définition 1 :
Une expérience est dite « aléatoire » si elle vérifie deux conditions :
- Elle conduit à des résultats possibles qu'on est parfaitement capable de nommer
- On ne sait pas lequel de ces résultats va se produire quand on réalise l'expérience.
Exemple 1 :
-
On lance une pièce de monnaie et on regarde sur quelle face elle tombe.Cette expérience est aléatoire car :
il y a deux résultats possibles : « PILE » « FACE »
quand on lance une pièce on ne sait pas sur quelle face elle va tomber.
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On dispose d'un dipôle dont on connaît la résistance et dans lequel on fait passer un courant d'intensité connue. On mesure la tension aux bornes.Cette expérience n'est pas aléatoire car on est capable de calculer la tension aux bornes du dipôle par la loi d'Ohm.
Définition 1 :
A partir d'une expérience aléatoire on peut définir ce qu'on appelle
des événements qui sont des ensembles de résultats.
Exemple 1 :
Expérience : « Lancer un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 »
- « Obtenir un nombre pair » est un événement car c'est l'ensemble des résultats suivants :
« obtenir 2 » ou « obtenir 4 » ou « obtenir 6 »
Remarque 1 :
Un résultat d'une expérience est aussi appelé événement élémentaire.
Définition 2 :
Si les résultats de l'expérience ont autant de chance d'être exécuté alors on dit que l'expérience est
équiprobable.
Définition 1 :
Pour certaines expériences aléatoires, on peut déterminer par un quotient la « chance » qu'un événement a de se produire. Ce quotient est appelé
probabilité de l’événement.
Exemple 1 :
Si on tire au hasard une boule dans un sac contenant 8 boules dont 3 sont rouges et 5 sont vertes, la probabilité de tirer une boule rouge est de $3 \over 8$ car on a 3 « chances » sur 8 de tirer une boule rouge.
B
Probabilité et fréquence
Propriété 1 :
Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n'importe quel événement de cette expérience finit par se stabiliser autour d'un nombre qui est la probabilité de cet événement.
Exemple 1 :
« On dispose d'une urne qui contient 2 boules jaunes et 3 boules rouges on tire une boule au hasard et on s'intéresse à la couleur de la boule tirée. »
Si on renouvelle un très grand nombre de fois cette expérience en remettant chaque fois la boule tirée dans l'urne, la fréquence du résultat « la boule est jaune » se stabilise autour de qui est la probabilité de l’événement « Obtenir une boule jaune ».
C
Calculer une probabilité
Propriété 1 :
Quand les résultats d'une expérience aléatoire ont tous la même probabilité alors la probabilité d'un événement est égale au quotient : ${Nombre \quad d'issues \quad favorables}\over {Nombre \quad d'issues \quad total}$
Exemple 1 :
Expérience : « On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre inférieur à 5 ?
Les résultats « obtenir 1 » ou « obtenir 2 » ou « obtenir 3 » « obtenir 4 » ou « obtenir 5 » ou « obtenir 6 » ont la même probabilité.
Les résultats favorables à l’événement « obtenir un nombre inférieur à 5 » sont :
« obtenir 1 » ou « obtenir 2 » ou « obtenir 3 » « obtenir 4 ».
Donc le nombre de d'issues favorables est 4.
La probabilité est donc de ${4 \over 6}$. (on dit aussi naturellement j’ai 4 chances sur 6 d’avoir un nombre inférieur à 5)
Propriété 2 :
La probabilité d'un événement est toujours compris entre 0 et 1.
La somme des probabilités de tous les résultats possibles est égale à 1.
Propriété 1 :
Si $p$ est la probabilité d'un événement alors $1-p$ est la probabilité de son événement contraire.
Exemple 1 :
Un sac contient des boules blanches et noires et si la probabilité d'obtenir une boule noire est de $2 \over 5$ alors la probabilité d'obtenir une boule blanche est de $1 - {2 \over 5} = {3 \over 5}$
Définition 1 :
On dit qu’un événement est
certain lorsque cet événement est sûr de se produire.
Sa probabilité est donc de 1.
On dit qu’un événement est
impossible lorsque cet événement est sûr de ne pas se produire.
Sa probabilité est donc de 0.
III
Représentation d'expériences à plusieurs épreuves
Définition 1 :
Un arbre de probabilité est un arbre des issues qui est pondéré par des probabilités.
Exemple 1 :
Nous sommes Mardi et il fait sec(S).
Si un jour, il fait sec, alors il fera sec le lendemain avec une probabilité de $5 \over 6$
Si un jour, il fait humide (H), alors il fera humide le lendemain avec une probabilité de $2 \over 3$
On s'intéresse au temps qu'il fera Jeudi.
Voici l'arbre de probabilité :
B
Tableau à double entrée
Exemple 1 :
On lance deux dés à 6 faces et on s'intéresse à la valeur obtenue par la somme des valeurs des deux dés.
