Proportionnalité

  • Reconnaitre une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité.
  • Résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle.
  • Résoudre des problèmes de pourcentage.
  • Coefficient de proportionnalité
I
Définition
Définition 1 :
Un tableau est de proportionnalité si pour passer de la première ligne à la seconde ligne, on multiplie toujours par le même nombre, ce nombre est alors appelé coefficient de proportionnalité.
On dira que les deux grandeurs, correspondant à chaque ligne, sont proportionnelles.
Exemple 1 :
À une station-essence, le sans-plomb 98 est vendu à 1,34€ le litre. La quantité d’essence et le prix sont donc proportionnels.
On a donc un tableau de proportionnalité :


II
Compléter un tableau de proportionnalité
Exemple pour expliquer les méthodes.
Voici un tableau de proportionnalité à remplir.

A
Par passage à l’unité
En 4 heures, nous parcourons 10 km.
En 1 heure, nous parcourrons donc 4 fois moins de distance à savoir 10 :4=2,5 km
En 6 heures, nous parcourrons donc 6 fois plus de temps qu’en 1 heure à savoir 2,5×6=15 km
En résumé :

B
Avec le coefficient de proportionnalité
On cherche par quel nombre on multiplie 4 pour obtenir 10. 4×...=10 C’est le nombre ${10 \over 4 } = 2,5$
6×2,5=15

C
En utilisant les propriétés du tableau de proportionnalité
Propriété 1 :
Dans un tableau de proportionnalité, on peut :
- multiplier/diviser une colonne par un nombre
- ajouter/soustraire des colonnes entre elles.


D
En utilisant l’égalité des produits en croix

Je nomme a le nombre cherché.
Le tableau est de proportionnalité donc
les produits en croix sont égaux.
$4 \times a=10 \times 6$
$4 \times a=60$
$a= {60 \over 4}$
$a = 15$
On peut écrire directement $a={{10 \times 6} \over {4}}= 15$
Exemple 1 :
IV
Sur un plan
Définition 1 :
Sur un plan, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. Le
coefficient permettant de passer des longueurs réelles aux longueurs du plan (dans la même unité
de mesure) s’appelle l’échelle du plan.
Exemple 1 :
Ici la carte ci-contre est à l’échelle 1/5000 (ou $1 \over 5000$).
Cela signifie que les longueurs réelles sont 5 000 fois plus grandes que sur le
plan.
En effet,1 cm sur le plan équivaut à 5000 cm dans la réalité, soit 50m.


Exemple 2 :
V
Notion de ratio
Définition 1 :
On dit que deux nombres a et b sont dans le ratio 2 : 3 si ${a \over 2} = {b \over 3}$
On dit que trois nombres a,b et c sont dans le ratio 2 : 3 : 4 si ${a \over 2} ={ b \over 3 }={ c \over 4}$
Remarque 1 :
On peut également voir cela comme une situation de proportionnalité entre les quantités a,b et c.
«Il me faut 2 volumes de a pour 3 volumes de b pour 4 volume de c.»
Remarque 2 :
Si deux nombres a et b sont dans le ratio 2 : 3 alors on a aussi ${a \over b} = {2 \over 3 }$.
Exemple 1 :
Dosage du béton
Pour remplir une bétonnière on utilise souvent le ratio suivant :
1 volume de ciment, 2 volumes de sable et 3 de gravier. Les quantités de ciment, sable et gravier
sont donc dans le ratio 1:2:3.
Je souhaite utiliser 12m³ de gravier pour une terrasse, quelle quantité d’eau, de ciment et de sable
dois-je prévoir ?
Voici 3 façons de répondre à cette question :

$ {c \over 1}={s \over 2}={g \over 3} $
donc
$ {c \over 1}={s \over 2}={12 \over 3} $
$c={12 \over 3} = 4$
$s={4 \times 2} = 8$
Ciment (m³)1
Sable (m³)2
Gravier (m³)312
On multiplie la première colonne par 4.
$1 \times 4 = 4$
$2 \times 4 = 8$

Le ratio signifie qu’on a 1m³
de ciment pour 2m³ de sable
pour 3m³ de gravier.
On souhaite 12m³ de gravier
soit « 4 fois plus », donc il
faut 4m³ de ciment et 8m³ de
sable.
VI
Les pourcentages
Définition 1 :
Un pourcentage de t % traduit une proportion de $t \over 100$.
Appliquer un taux de t% à une quantité revient à calculer $t \over 100$ de cette quantité.
Exemple 1 :
Dans une classe de 30 élèves, 20 % ont pris l’option Latin.
Je vais donc calculer $20 \over 100$ de $30$ :
${20 \over 100} \times 30 = 0,2 \times 30 = 6$
6 élèves ont pris Latin.
Définition 2 :
Déterminer un pourcentage revient à donner la proportion dont le dénominateur est
100
.
Exemple 2 :
Un manteau coûtait 146€ et a augmenté de 29,2 €. Quel est le pourcentage d’augmentation?
La proportion de l’augmentation est de $29,4 \over 146$.
Or ${29,4 \over 146 }= 0,2 = {20 \over 100} = 20$%
Le manteau a augmenté de 20%.


On peut aussi utiliser un tableau de proportionnalité :


Exemple 3 :
VII
Caractérisation graphique de la proportionnalité
Propriété 1 :
Si une situation est une situation de proportionnalité, alors les points de sa
représentation graphique sont alignés avec l'origine du repère.
Exemple 1 :

Les points de la représentation ne sont pas alignés.
La situation n'est pas une situation de proportionnalité
Les points de la représentation ne sont pas alignés avec l'origine du repère.
La situation n'est pas une situation de proportionnalité
Les points de la représentation sont alignés avec l'origine du repère.
La situation est une situation de proportionnalité.

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