Les relatifs

  • Calculer avec des nombres relatifs (somme, différence,produit, quotient).
I
Définitions
Définition 1 :
Un nombre relatif est formé d’un signe + ou – et d’un nombre appelé distance à zéro.
Exemple 1 :
(+5) est un nombre relatif, son signe est + et sa distance à zéro est 5.

(-3) est un nombre relatif, son signe est - et sa distance à zéro est 3.


Définition 2 :
Un nombre comportant un signe – sont appelés les nombres négatifs.
Un nombre comportant un signe + sont appelés les nombres positifs.
Remarque 1 :
0 n’a pas de signe car il est à la fois positif et négatif.
II
Repérage sur un axe et comparaison
Définition 1 :
Une droite graduée est une droite qui contient un point nommé Origine, un autre appelé Unité et un sens.
Définition 2 :
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif. On dit que ce nombre est l’abscisse de ce point.
Exemple 1 :

L’abscisse de A est (-2), on le note A(-2). B a pour abscisse +4,5, on écrit donc B(+4,5).

Exemple 2 :
Remarque 1 :
L’origine de la droite graduée a pour abscisse 0.
Propriété 1 :
Entre deux nombres relatifs celui qui est le plus grand est celui qui se trouve le plus à droite sur un axe gradué en conséquence :
Entre deux nombres négatifs, celui qui est le plus grand a la plus petite distance à zéro.
Entre deux nombres positifs, celui qui est le plus grand a la plus grande distance à zéro.
Entre un nombre positif et un négatif, celui qui est le plus grand est le nombre positif.
Exemple 3 :
(+2)<(+12) (-10) <(+14) (-19)< (-12)
III
Repérage dans un plan
Définition 1 :
Un repère orthogonal du plan est composé de deux droites graduées perpendiculaires et de même origine. L’une horizontale est appelée axe des abscisses et l’autre verticale est appelée axe des ordonnées.
Définition 2 :
Chaque point est repéré par deux nombres appelées coordonnées du point. Le premier nombre est l’abscisse du point et le second l’ordonnée.
Exemple 1 :

Ici, A a pour abscisse -1 et ordonnées 2.
On dit que les coordonnées de A sont (-1; 2). On note cela : A(-1; 2)
B a pour abscisse 4 et ordonnées 3.
On dit que les coordonnées de B sont (4; 3).
On note cela : B(4; 3)

IV
Addition et soustraction de nombres relatifs
Règle :
○ désignant un +
● désignant un -
A
Addition
Propriété 1 :
Lorsque l'on ajoute deux quantités d'objets, il suffit de compter l'ensemble des objets.
Exemple 1 :
○○○○○○ + ○○○○○ = ○○○○○○○○○○○
En notation mathématique, on écrirait :
(+6) + (+5) = (+11)
« Il y a 6 jetons blancs, puis 5 jetons blancs donc il y a 11 jetons blancs en tout »
Exemple 2 :
Sur le même principe :
●●●● + ●●●= ●●●●●●●
(-4) + (-3) = (-7)
« Il y a 4 jetons noirs, puis 3 jetons noirs donc il y a 7 jetons noirs en tout »
Exemple 3 :
Enfin sachant qu’un jeton noir et blanc s’annule.
●●●●●● + ○○○ = ●●●●●● ○○○ = ●●●
(-6) + (+3) = (-3)
Exemple 4 :
(+7) + (-9) = -2 (il ne reste que 2 jetons noirs) (+2)+(-2)=0
Définition 1 :
Deux nombres sont opposés si leur somme vaut 0. (-2) et (+2) sont opposés.
B
Soutraction
Propriété 1 :
Lorsque l'on soustrait une quantité d'objets à une autre, alors il suffit d'enlever la seconde quantité à la première.
Exemple 1 :
○○○○○○○ - ○○ = ○○○○○○○ = ○○○○○
En notation mathématique, on écrirait :
(+7) - (+2) = (+5)
« Il y a 7 jetons blancs, j'enlève 2 jetons blancs donc il reste 5 jetons blancs  »
Exemple 2 :
Sur le même principe
●●●●●● - ●●●●= ●●
En notation mathématique, on écrirait :
(-6) - (-4) = (-2)
« Il y a 6 jetons noirs, j'enlève 4 jetons noirs donc il reste 2 jetons noirs  »
Exemple 3 :
Cas particulier où il faut se rappeler que ajouter un pion noir enlève un pion blanc (ils s’annulent), donc pour enlever 3 pions noirs, j’ajoute 3 pions blancs
○○○○○○ - ●●● =○○○○○○ + ○○○ ==○○○○○○○○○
En notation mathématique, on écrirait :
(+6) - (-3) = (+6) + (+3) = +9.
Propriété 2 :
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Exemple 4 :
(-7) - (+4) = (-7) + (-4) = -11.
(+12) -(-4)=(+12)+(+4) = +16
V
Convention d’écriture
Propriété 1 :
D’une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs, on peut supprimer les signes + des nombres positifs et utiliser le fait que soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Exemple 1 :
A = (+6) +(-7) - (+8)
A = (+6) -(+7) - (+8) je m’arrange pour n’avoir que des nombres positifs afin de supprimer leur signe positif +(-7) devient -(+7)
A = 6-7-8
Cette écriture sert à alléger l’expression.
VI
Multiplication et division de nombres relatifs
A
Multiplication par (-1)
Propriété 1 :
Multiplier un nombre par (-1) revient à le transformer en son opposé.
Exemple 1 :
$ (-5) \times (-1) = +5 $ (+5 est l’opposé de -5 )
B
Multiplication en général
Propriété 1 :
Règle (des signes)
Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
Le produit de deux nombres de même signe est positif.
Facteur1Facteur2Résultat
--+
+++
-+-
+--
Pour trouver la distance à zéro du résultat on multiplie les distances à zéro des facteurs.
Exemple 1 :
$(-5) \times (+6)=-30$
$(-4) \times (-8)=+32$
C
Division
Propriété 1 :
La division fonctionne de la même manière que la multiplication, il suffira seulement de diviser les distances à zéro au lieu de multiplier.
Exemple 1 :
$(−6) \div (+3)=(−2)$
$(−12)\div(−4)=(+3)$
D
Exemple de calcul
Exemple 1 :

QUIZZ

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(-3) + (+7) =-10+44
(-3) + (-7) =-10+44
(+30) - (-17) =13-1347
4 -(-6) +7 -8=9-13-3
$4 - 7 \times (-6) - 8 \div (-2)= $4250−34