- Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels.
- Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée.
- Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire.
- Égalité de fractions.
- Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre.
- Calculer avec des fractions (somme, différence,produit).
Définition 1 :
Soit deux nombres n et d ($ d \ne 0$). Le quotient de n par d est le nombre qui multiplié par d, donne n. On peut l’écrire en écriture fractionnaire : $n \over d$ . n est appelé le numérateur et d le dénominateur.
$n \over d$ est en conséquence aussi le résultat de la division de n par d.
$n \div d = {n \over d }$
Exemple 1 :
Je multiplie le nombre 5 par $6 \over 5$ pour obtenir 6 : $5 \times {6 \over 5} = 6$
Le quotient de 8 par 9 est $8 \over 9$.
Définition 2 :
Une fraction est une écriture fractionnaire dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.
II
Écritures fractionnaires égales
Propriété 1 :
Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
${a \over b} = {{a \times k} \over {b \times k}} = {{a \div d} \over {b \div d}}$
Exemple 1 :
${5 \over 7} ={{5 \times 8} \over {7 \times 8 }} = {40 \over 56} $
${110 \over 30} = {{110 \div 10 } \over {30 \div 10}} = {11 \over 3}$ (on dit que la fraction a été simplifiée)
Propriété 2 :
Un nombre a est divisible par un nombre b si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est 0, ceci permet de démontrer des critères de divisibilité.
En conséquence a divise b, si on a : $a= b \times k + {0}$ ou $a= b \times k$
Pour trouver par quoi on peut diviser le numérateur et dénominateur de la fraction, on peut utiliser les critères de divisibilité : voir chapitre divisibilité
III
Comparaison de fractions
Propriété 1 :
Pour comparer des fractions, on peut
Les réduire au même dénominateur et comparer les numérateurs (le sens de l’inégalité sera identique pour les fractions)
Exemple 1 :
Comparer $6 \over 4$ et $14 \over 12$ :
On réduit au même dénominateur (12) : $ {6 \over 4} ={ {6 \times 3} \over {4 \times 3}} ={ 18 \over 12}$
On compare donc $18 \over 12$ et $14 \over 12$ or $18>14$
donc ${18 \over 12} >{14 \over 12}$
donc ${6 \over 4} >{14 \over 12}$
Propriété 2 :
Pour comparer des fractions, on peut
Les réduire au même numérateur et comparer les dénominateurs (le sens de l’inégalité sera l’inverse de celui des fractions).
Exemple 2 :
Comparer $8 \over 12$ et $16 \over 20$ :
$ {8 \over 12} = {{8 \times 2}\over {12 \times 2}}= {16 \over 24}$, on compare donc $16 \over 24$ et $16 \over 20$ or $24>20$
donc ${16 \over 24} < {16 \over 20}$ donc ${8 \over 12}<{16 \over 20}$.
Propriété 3 :
Pour comparer des fractions, on peut
Comparer leurs écritures décimales.
Exemple 3 :
Comparer $5 \over 2$ et $7 \over 4$ :
${5 \over 2} = {5 \div 2}={2,5}$ et ${7 \over 4}={7 \div 4}={1,75}$
donc comme ${2,5}>{1,75}$ alors ${5 \over 2}>{7 \over 4}$
Propriété 4 :
Pour comparer des fractions, on peut
Les placer sur un axe gradué.
IV
Valeur approchée d’un quotient
Définition 1 :
A un rang donné :
- La
troncature d’un nombre est sa valeur approchée par défaut.
-
L’arrondi d’un nombre est, de sa valeur approchée par défaut ou par excès, celle qui est la plus proche.
Exemple 1 :
Nous allons procéder aux encadrements de $23 \over 7$ et $23 \div 7 \approx 3,285714286$
| Rang | Encadrement par les valeurs approchéespar défaut et par excès | Troncature | Arrondi | Axe gradué |
| A l'unité | $3<{23 \over 7}<4$ | 3 | 3 |  |
| Au dixième | $3,2<{23 \over 7}<3,3$ | 3,2 | 3,3 |  |
| Au centième | $3,28<{23 \over 7}<3,29$ | 3,28 | 3,29 |  |
| Au millième | $3,285<{23 \over 7}<3,286$ | 3,285 | 3,286 |  |
VI
Opérations avec les écritures fractionnaires
Propriété 1 :
Addition/soustraction :Pour additionner ou soustraire deux nombres en écriture fractionnaire, il faut :
- les réduire au même dénominateur (si ce n’est pas le cas)
- ajouter/soustraire les numérateurs et garder le dénominateur.
Exemple 1 :
${2 \over 3} + {5 \over 3} = {7 \over 3}$
$ {3 \over 6}+{4 \over 18} = {{3 \times \textbf{ 3}} \over{6 \times \textbf{ 3}}}+{4 \over 18} = {9 \over 18}+{4 \over 18}={13 \over 18}$
$ {{3 \over 7}-{2 \over 10}} = {{3 \times \textbf{ 10}}\over{7 \times \textbf{ 10}}} – {{2 \times \textbf{ 7}} \over {10 \times \textbf{ 7}}} = {{30 \over 70}-{14 \over 70}} = {16 \over 70}$
Propriété 2 :
Multiplication :Pour multiplier deux nombres en écritures fractionnaires, il faut :
- multiplier les numérateurs entre eux.
- multiplier les dénominateurs entre eux.
Exemple 2 :
${{3 \over 4} \times {5 \over 6}}={{{3} \times {5}}\over{{4} \times {6}}} = {15 \over 24}$
