Espace-Volume

  • Calculer le volume d’un cube et pavé droit
  • Convertir des volumes dans d’autres unités
  • Relation entre L et dm³
  • Patron d’un pavé droit
I
Le parallélépipède rectangle
Définition 1 :
Un solide est un objet en trois dimensions.
Définition 2 :
Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un solide possédant six faces qui sont toutes des rectangles.
Définition 3 :
Les côtés des faces s'appellent les arêtes. Les sommets des faces s'appellent les sommets du parallélépipède rectangle.

Propriété 1 :
Un parallélépipède rectangle a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.
Un parallélépipède rectangle possède 3 dimensions : sa longueur, sa largeur et sa hauteur.
Remarque 1 :
Un cube est un parallélépipède rectangle dont les 6 faces sont des carrés.
Propriété 2 :
Deux arêtes issues d’un même sommet sont perpendiculaires.
Deux arêtes parallèles ont la même longueur.(propriété des rectangles)
Deux faces non opposées sont perpendiculaires.
Deux faces opposées sont parallèles.
Définition 4 :
Le patron d’un solide est la figure plane qui permet de reconstruire, après pliage et collage, l’objet qui représente ce solide dans l’espace.


Exemple 1 :

Définition 5 :
La perspective cavalière est une manière de représenter sur papier des objets en volume.
Cette représentation ne présente pas de point de fuite : la taille des objets ne diminue pas lorsqu’ils s’éloignent.
Cette perspective ne prétend pas donner l’illusion de ce qui peut être vu, mais simplement donner
une information sur la notion de profondeur.
Comprendre :
Les arêtes parallèles sur le solide sont représentées par des segments parallèles.
Les faces qu’un observateur a face à lui (faces avant et arrière) sont représentées en vraie grandeur (ou à l’échelle).
Les arêtes (appelées arêtes fuyantes) qui relient les faces avant et arrière ne sont pas représentées en vraie grandeur.
Les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
II
Volumes
Définition 1 :
Une unité de volume souvent utilisée est le mètre cube (m³).
1 m³ est le volume d’un cube d’arête 1 m.
Remarque 1 :
Comme pour les unités de longueur et d’aire, on peut utiliser des unités de volume multiples ou sous-multiples du m³.
Mais il faut encore faire attention au moment de la conversion.

Comme on peut placer 1000 cubes de 1 dm de côté ( 10×10×10 ) dans un cube de 1 m de côté, on a
1m³ = 1000 dm³ et plus généralement 1m³ = 1 000 dm³ = 1000 000 cm³ = 1000 000 000 mm³...

Définition 2 :
Une unité de contenance souvent utilisée est le litre (L).
1 L est la contenance d’un cube d’arête 1 dm.
Ainsi, 1 L = 1 dm³.
Propriété 1 :
Pour convertir les longueurs, on peut utiliser un tableau de conversion :
$km^3$$hm^3$$dam^3$$m^3$$dm^3$$cm^3$$mm^3$
kLhLdaLLdLcLmL
12345678000
0002342200
12,345 678 hm³ = 12 345 678 000dm³= 12 345 678 000 L
0,002 342 2 dam³ = 2 342 200 cm³
Propriété 2 :
Le volume d’un parallélépipède rectangle de longueur L, de largeur l et de hauteur h est égal à
L×l×h.
Exemple 1 :
Calculer le volume d'un parallélépipède rectangle de longueur 2 cm, de largeur 3 cm et de hauteur 4 cm.
Son volume est donné par 2 cm×3 cm ×4 cm=24cm³.
Exemple 2 :
Un parallélépipède rectangle de longueur 2 mm, de largeur 3 cm et de hauteur 4 dm.
Il faut faire attention aux unités, il faut qu'elles soient homogènes, ici, on va choisir de convertir toutes les longueurs en cm.
Le volume est donné par 0,2 cm×3 cm×40 cm=24cm³