Chapitre
Calcul littéral

I
Expression littérale
Définition :
Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Exemple :
Longueur d’un cercle : $\pi \times 2 \times r$ où $r$ représente le rayon du cercle et $\pi$ est un nombre constant qui vaut environ 3,14…
L’aire d’un carré est donné par $c \times c$ où c représente le côté du carré
Propriété :
Simplification d’une expression littérale : On peut simplifier les expressions en supprimant le signe si et seulement s’il est suivi d’une lettre ou en utilisant les puissances.
Exemple :
$x \times 6$ n’est pas simplifiable car le signe $\times$ est suivi de 6 mais on peut procéder comme cela :
$x \times 6 = 6 \times x = 6 x$
$\pi \times 2 \times r = 2 \times \pi \times r = 2 \pi r$
$c \times c \times c = c ^3$
II
Calculer la valeur d’une expression littérale et tester une égalité
Définition :
On calcule la valeur d’une expression littérale lorsque l’on attribue une valeur aux lettres contenues dans l’expression.
Si une même lettre est utilisée plusieurs fois, on lui attribue le même nombre à chaque fois.
Exemple :
Calculer l’expression $A = 5 \times (6 - x)+3x-7y$ lorsque $x=2$ et $y=1$ .
On n’oubliera pas de remettre le signe $\times$ à $3x$ et $7y$
$A = 5 \times (6 - x)+3 \times x-7 \times y$
$A = 5 \times \underline{(6 - 2)}+3 \times 2 -7 \times 1$
$A = \underline{5 \times 4}+3 \times 2 -7 \times 1$
$A = 20+\underline{3 \times 2} -7 \times 1$
$A = 20+6 -\underline{7 \times 1}$
$A = \underline{20+6} -7$
$A = \underline{26 -7}$
$A = 19$
Définition :
Une égalité est constituée de deux expressions littérales appelées « membres » séparées par un signe « = »
Propriété :
On dit qu’une égalité est vraie (ou est vérifiée) si les deux expressions représentent le même nombre.
Exemple :
$5 \times 2 = 4 + 6$ est vraie car $5 \times 2 = 10$ et $4+6=10$
$4 \times 6 = 24+3$ est fausse car $4 \times 6 = 24$ et $24+3=27$
Définition :
Deux expressions littérales sont égales si et seulement si elles sont égales quelles que soient les valeurs attribuées aux lettres.
Exemple :
${4}x+{6} +{2}x = {2}x \times {3} +{2} \times {3} $ est vraie car
${4}x+{6}+{2}x={4}x+{2}x+{6}={6}x+{6}$ (ajoute dans l’ordre que l’on veut)
${2}x \times {3}+{2} \times {3}={2} \times x \times {3}+{2} \times {3}={2} \times {3} \times x+{2} \times {3}={6} \times x+{6}={6}x+{6}$
Exemple :
${3}x+{6} = {2}(x+{5})$ est fausse car
si $x=1$ alors ${3}x+{6}={3} \times {1}+{6}={9}$
et ${2}(x+{5})={2} \times ({1}+{5})={2} \times {6}={12}$
III
Développement et factorisation
Propriété :

Formule de la distributivité :
$k \times (a+b)=k \times a+k \times b$
$k \times (a-b)=k \times a-k \times b$
Définition :
Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en somme ou différence.
Exemple :
Développer $A = {4} \times (6+2x)$ C’est un produit de 4 par (6+2x)
$A = 4 \times 6+ 4 \times 2x$
$A = 24 + 8x$
C’est une somme de 24 et $8x$
Définition :
Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme ou une différence en un produit, c’est l’inverse du développement.
Exemple :
$A = \textbf{5} \times x + \textbf{5} \times {3}$ On détecte le facteur commun aux deux produits
$A = {5} \times (x+{3})$ On écrit entre parenthèses les deux autres facteurs.
Si les produits ne sont pas apparents, il faut les faire apparaître.
$B = {24} -{4}x$
$B = {4 \times 6} -{4} \times x$
$B = {4 \times (6 -x)}$
IV
Réduction
Définition :
Réduire une somme, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles (en regroupant les termes de même espère). Réduire un produit, c’est l’écrire avec le moins de facteurs possibles.
Exemple :
$A= 4x+6y+2x-y=6x+5y$
« 4 balles + 6 torchons + 2 balles – 1 torchon = 6 balles + 5 torchons »
Exemple :
Réduction d'une somme
$A = {4}x+ {6}y -{7}x +{4}x^{2} - {5}y $ Je transforme les soustractions en additions
$A = {4}x+{6}y+(-{7}x) +{4}x^{2}+(-{5}y)$Je regroupe les termes de même espèce, ceux ayant la même partie littérale
$A = {4}x+(-{7}x)+{6}y+(-{5}y) +{4}x^{2}$ Je calcule
$A = {-3}x+{1}y +{4}x^{2}$
Exemple :
Réduction d'un produit
$B = {5} \times {3}x \times y \times {4}x^{2}$ Je rajoute les signes $\times$
$B = {5} \times {3}\times x \times y \times {4}\times x^{2}$ Je réordonne les facteurs, lettres à droite.
$B = {5} \times {3}\times {4} \times x \times x^{2} \times y $ Je calcule et réduis
$B =60 \times x^{3} \times y $ Je supprime les signes $\times$ qui sont devant des lettres.
$B =60 x^{3} y $
V
Addition d’une somme et soustraction d’une somme
Propriété :
Addition d’une somme : Additionner une somme revient à ajouter chacun de ses termes.
Exemple :
$A=5x + (4x+4)$
$A = 5x+4x+4$
$A = 9x +4$
$B=5 +(4x-6)$ Je transforme 4x-6 en addition
$B=5 +(4x+(-6))$
$B=5 +4x+(-6)$
$B=-1 +4x$
Définition :
(rappel) :- Multiplier par (-1) revient à prendre l’opposé d’un nombre.
- Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Exemple :
$A=5-(4x+5)$ →Je soustrais la somme $4x+5$ ajoute donc l’opposé de cette somme.
Ce qui revient à ajouter cette somme multipliée par (-1)
$A=5+(-1) \times (4x+5)$
$A=5+(-1) \times 4x+(-1) \times 5$
$A=5+(- 4x)+(-5)$
Propriété :
Soustraction d’une somme : Soustraire une somme revient à ajouter l’opposé de ses termes.
Exemple :
$ A = {4} – ({3}x + (-{5}) ) $
$ A = {4} + (-{3}x) + (+{5}) $
VI
Double distributivité et identités remarquables
A
Double distributivité
Propriété :
Double distributivité :
$(a+b)(c+d) = a \times c+a \times d + b \times c+b \times d $
D'où cela vient?

L’aire du rectangle est donnée à la fois par :
$(a+b)(c+d) $
et $a \times c+a \times d + b \times c+b \times d$ (la somme des aires de chaque rectangle)
Exemple :
$A = ({5}x-{6})({2}x+{1})$ Je transforme les soustractions en additions..
$A = ({5}x \textbf{+(-6)})({2}x+{1})$ Je développe.
$A= {5}x \times {2}x+{5}x \times {1}+(-{6}) \times {2}x+(-{6}) \times {1}$ Je réduis les produits.
$A= {10}x^2+{5}x +(-{12}) x+(-{6})$ Je réduis la somme.
$A= {10}x^2+(-{7}) x+(-{6})$
Exemple :

B
Identités remarquables
Propriété :
Les identités remarquables :
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Remarque :
Ces propriétés servent à factoriser rapidement.
Exemple :
Factoriser $A= {4}x^{2} + {10}x+{25}$
$A= (2x)^{2} + 2 \times 2x \times 5 +{5^2}$
$A= ((2x)+5)^{2} $ 1ere formule
Exemple :
Factoriser $B = {16}x^{2} -{9}$
$B = (4x)^{2} -{3^2}$
$B = (4x+3)(4x-3)$ 3e formule
VII
Le calcul comme outil de démonstration
Exemple :
On veut montrer que la somme de 3 nombres consécutifs est toujours divisible par 3, on peut utiliser le calcul littéral.
Démonstration :
Soit un entier $n$ quelconque. Alors $n-1$ est le nombre précédent et $n+1$ le nombre suivant.
Si je les ajoute, j’additionne bien 3 entiers consécutifs.
$n-1+n+n+1= n+(-1)+n+n+1 = n+n+n+(-1)+1 = 3n$
$ 3n$ est un nombre divisible par 3.
CQFD.

QUIZZ

Cliquez sur les réponses votre choix.
Développer $4 \times (x+2)$$4 \times x + 2$$4 \times x + 8$$4 \times x - 8$
Développer $4 \times (x-2)$$4 \times x + 2$$4 \times x + 8$$4 \times x - 8$
Réduire $4 \times x \times 2x^2 \times 4$$4 \times x \times 2x^2 \times 4$$32 \times x \times x^2 $$32 x^3$
Si $x=1$ alors $3x-1$ vaut :$30$$2 $$3$
Réduire $ 4x - 5 + 7x + 7$$11x +2$$11 x -12$$-3x -2$
Auteur : Arnaud DURAND (programme et cours) et Nicolas Desmarets (Css) (Sous licenceGPL v3 et CC-BY-NC-SA)
Compétences de ce chapitre
N46Multiplier des nombres relatifs.
N47Diviser des nombres relatifs.
N48Effectuer des séquences de calcul à la main impliquant des nombres relatifs.

* : cette compétence fait partie du socle commun de connaissances

A