- Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre.
- Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique.
- Définition des puissances d’un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs).
- Les préfixes de nano à giga.
Définition 1 :
Par définition : ${3^6} = \underbrace{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}_\textrm{6 facteurs}$
${3^6}$ est une puissance de 3, et 6 est l’exposant de cette puissance.
Cela se lit « 3 exposant 6 » ou par abus de langage « 3 à la puissance 6 ».
L'exposant correspond au nombre d'itérations de la multiplication par le même nombre.
Remarque 1 :
${3^1}=3$ et par convention ${3^0}=1$.
On se souvient de $4^2=4 \times 4 $ « quatre au carré » et $4^3=4 \times 4 \times 4 $ « quatre au cube »
Exemple 1 :
$5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 725 $
$x^3 = x \times x \times x$
II
Propriété : produit de puissance
Propriété 1 :
$10^4 \times 10^3 = 10^{4+3} = 10 ^7$
En effet ${10^4 \times 10 ^3} = {\underbrace{10 \times ... \times 10}_\textrm{4 facteurs}} \times {\underbrace{10 \times ... \times 10}_\textrm{3 facteurs}}= {\underbrace{10 \times .. \times 10 }_\textrm{7 facteurs}} = 10 ^ 7$
Attention $4^5 + 4^8 \ne 4^{13}$ !
Exemple 1 :
$10^5 \times 10^3 = 10^{5+3} = 10^8$
$x^3 \times x^2 = x^5$
III
Puissances d'exposant négatif
Définition 1 :
$5^{-6} = {1 \over {5^6}}$
En particulier : $8^{-1} = {1 \over {8^1}} = {1 \over 8}$
Remarque 1 :
$5^{-6}$ est l’inverse de $5^6$
Exemple 1 :
$10^{-3} = {1 \over {10 ^3}} = {1 \over 1000} = 0,001$
${2^{-1}} = {1 \over 2} = 0,5$
Propriété 1 :
${{{10}^5} \over{{10}^{8}}} = {10^{ 5-8}}={10^{-3}}$
en effet
${{10^5} \over {10^8 }} = {{\overbrace{\cancel{10} \times \cancel{10} \times \cancel{10} \times \cancel{10} \times \cancel{10}}^\textrm{5 facteurs}} \over {\underbrace{\cancel{10} \times \cancel{10} \times \cancel{10} \times \cancel{10} \times \cancel{10} \times 10 \times 10 \times 10 }_\textrm{8 facteurs}}} = {1 \over {10 \times 10 \times 10}} = {1 \over {10^3}} = {10^{-3}}$
${10^7 \over 10^3} = {10^{7-3}} = {10^4}$
en effet
${{10^7} \over {10^3 }} = {{\overbrace{\cancel{10} \times \cancel{10} \times \cancel{10} \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}^\textrm{7 facteurs}} \over {\underbrace{\cancel{10} \times \cancel{10} \times \cancel{10} }_\textrm{3 facteurs}}} = {{10 \times 10 \times 10 \times 10} \over 1} = {{10^4} \over 1} = {10^{4}}$
Remarque 1 :
${10^5 \over 10^5} = {10^0} = 1$
V
Propriété : puissance de puissance
Propriété 1 :
${({10}^{5})^3} = {{10} ^{5 \times 3} }= {{10}^{15} }$
en effet ${({10}^{5})^ {3} }= {{10^ 5 }\times {10 ^ 5} \times {10^ 5}} = {10 ^ {15}}$
On réitère 3 fois la multiplication par $10^5$ , on réitère donc 15 fois la multiplication par 10.
VI
Calcul avec une puissance de 10
A
Calculs d’une puissance de 10
Propriété 1 :
Pour n'importe quel exposant n
${10^n} = 1{\underbrace{0......0}_\textrm{n zéros}}$
${10^{-n}} = {\underbrace{0,0......0}_\textrm{n zéros}}1$
Exemple 1 :
$10^5$ = 100 000
$10^{-6}$ = 0,000 001
B
Produit par une puissance de 10
Propriété 1 :
n est un entier positif.
Pour multiplier un nombre décimal par $10^n$ , on pense au fait que l'unité du nombre devient $10^n$ fois
plus forte.
Pour multiplier un nombre décimal par $10^{-n}$, on pense au fait que multiplier par $10^{-n}$ revient à diviser par $10^n$, l'unité devient $10^n$ fois
moins forte.
On pourra utiliser le glisse-nombre...
Exemple 1 :
$25,1 \times {10^5} = {2 5 \underbrace{10 000}_\textrm{5 rangs}}$
${25,1 \times 10^{-5} = 0\underbrace{,00025}_\textrm{5 rangs}1}$
Définition 1 :
Le tableau ci-contre permet d’indiquer, à l’aide des puissances de 10, par quel facteur est multipliée une unité pour obtenir des multiples de cette unité.
| Préfixe | giga | méga | kilo | milli | micro | nano |
| Symbole | G | M | k | m | $\mu$ | n |
| Signification | $10^9$ | $10^6$ | $10^3$ | $10^{-3}$ | $10^{-6}$ | $10^{-9}$ |
Exemple 1 :
Un mégaoctet, noté Mo, représente $10^6$ octets soit 1 million d’octets.
Un nanogramme, noté ng, représente $10^{-9}$ grammes, soit 1 milliardième de grammes.
Les calculatrices, lorsque le résultat d'un calcul dépasse leur capacité d'affichage donne une valeur approchée du résultat en notation scientifique.
Définition 1 :
Un nombre positif est écrit en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous cette forme : $a \times 10^n$
où :
- $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leqslant a < 10$ (c'est-à-dire que $a$ s'écrit avec un seul chiffre autre que zéro avant la virgule)
- $n$ est un nombre entier relatif.
Exemple 1 :
$G = 7,15 \times 10^3$ est un nombre écrit en notation scientifique.
$H = 0,33 \times 10^6$ n'est pas écrit en notation scientifique.
$I= 1,3 \times 5^4$ n'est pas écrit en notation scientifique.
Exemple 2 :
Correction d'une pseudo écriture scientifique
$A=158,2 \times 10^5$
On écrit le nombre décimal en notation scientifique
$A=1,582 \times 10^2 \times 10^5$
On rassemble les puissances de 10
$A=1,582 \times 10^7$
Exemple 1 :
Multiplication avec des écritures scientifiques
$A= 3 \times 10 ^5 \times 2 \times 10^6$
$A= 3 \times 2 \times 10 ^5 \times 10^6$
$A= 6 \times 10 ^{11}$
Exemple 2 :
Division avec des écritures scientifiques
$B={{5 \times {10^5}} \over {4 \times {10^{-7}}}}$
$B={5 \over 4} \times {{10^5} \over {10^{-7}}}$
$B={1,25} \times {10^ {5-(-{7})}}$
$B={1,25} \times {10}^ {5+{7}} $
$B= 1,25 \times 10^{12}$
