# Arithmétique

::: objectifs

- Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier.
- Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.
- Division euclidienne (quotient, reste).
- Multiples et diviseurs.
- Notion de nombres premiers.
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## Définitions

::: definition
Dire que $a$ est un **multiple** de $b$ signifie qu’il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$
			On dira également que $b$ **divise** $a$ ou que $b$ est un **diviseur** de $a$.
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::: exemple
$18 = 6 \times 3 $ donc 18 est un **multiple** de 3 ( et aussi un multiple de 6)
		 6 divise 18 et 3 divise 18. 6 et 3 sont des **diviseurs** de 18.
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::: remarque
1 divise tous les nombres entiers et par conséquent, tous les nombres sont leurs propres multiples. 
Par exemple, $12=12 \times 1$ donc 1 divise 12 et 12 est un multiple de ... 12.
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## Critères de divisibilité

::: propriete
Un nombre est divisible par 2 si : le chiffre des unités est 0,2,4,6 ou 8.
* Un nombre est divisible par 3 si : la somme des chiffres du nombre est divisible par 3
* Un nombre est divisible par 5 si : le chiffre des unités est 5 ou 0.
* Un nombre est divisible par 9 si : la somme des chiffres du nombre est divisible par 9
* Un nombre est divisible par 10 si : le chiffre des unités est 0.
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::: exemple
3345 est divisible par 5 	(l’unité est 5) 
					et      par  3	 (3+3+4+5=15 et 15 est divisible par 3)
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## Nombres premiers

::: definition
Un nombre entier est **premier** s’il n’admet que deux diviseurs distincts, 1 et lui-même.
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::: exemple
Les nombres premiers sont : 2,3,5,7,11,13,17 …. 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur.
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## Diviseurs communs 

::: definition
On dit qu’un nombre $d$ est un **diviseur commun** à  $a$ et $b$ si $a$ et $b$ sont divisibles par $d$.
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::: exemple
2,3,5 sont des diviseurs communs à 60 et 90.
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## Décomposition 

::: propriete
On peut toujours décomposer un nombre non premier en produit de plusieurs facteurs premiers, cette décomposition est unique.
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::: exemple
$324 = 2 \times 162$
$=  2 \times 2 \times 81$
$= 2 \times 2 \times 3 \times 27$
$= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 9$
$= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$
$= 2^2 \times 3^4$
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::: remarque
La décomposition permet de simplifier les fractions de manière maximale, on parle alors de fractions irréductibles.
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::: exemple
${135 \over 63} = {{3 \times 3 \times 3 \times  5} \over {3 \times 3 \times 7}} = {{\bcancel 3 \times \bcancel 3 \times 3 \times  5} \over {\bcancel 3 \times \bcancel 3 \times 7}} ={{3 \times  5} \over  7} =  {15 \over 7}$
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