Désolé de ne pas avoir pu répondre à ton mail, manque de temps, mais promis j’essaie de te répondre dès que je trouve un peu de temps à consacrer à ça.

– La première est que le théorème de Thalès peut s’énoncer de plusieurs façons différentes. Une des deux hypothèses (la moins importante) est d’avoir soit deux droites sécantes « les droites (AM) et (BN) sécantes en O », soit des points alignés « O, A, M et O, B, N alignés », soit deux points qui appartiennent à deux droites différentes « A appartient à (OM) et B appartient à (ON) ».

– La deuxième est que la réciproque n’en est pas exactement une. En effet, l’hypothèse précédente est insuffisante et doit obligatoirement être remplacée par une hypothèse plus contraignante à savoir « O, A, M et O, B, N sont alignés dans le même ordre ».

– La troisième est que dans la réciproque, on n’a pas besoin de comparer les 3 rapports de longueurs alors qu’ils apparaissent tous les 3 dans la conclusion du théorème de Thalès. Pour ce qui est de la réciproque (qui sert à démontrer que deux droites sont parallèles (AB) et (MN) par exemple), il faut obligatoirement comparer les deux rapports de longueurs issues du sommet commun O (ie OA/OM et OB/ON dans mon exemple). Pas question de prendre AB/MN.

Dans notre collège, on a décidé de prendre parmi les hypothèses du théorème de Thalès la formulation des droites sécantes ; ceci afin d’avoir une uniformisation de la rédaction lors des devoirs communs et des DNB blancs.

Maintenant que j’ai posé les bases de la discussion, je voulais surtout parler de la contraposée du théorème de Thalès : si OA/OM n’est pas égal à OB/ON alors les droites (AB) et (MN) ne sont pas parallèles. Dans la rédaction, certains utilisent le mot contraposée et écrivent « d’après la contraposée du théorème de Thalès ». Idem d’ailleurs avec Pythagore. D’autres se contentent d’écrire « puisque que OA/OM n’est pas égal à OB/ON, on en déduit que les droites (AB) et (MN) ne sont pas parallèles ». J’ai même vu aussi « d’après la conséquence du théorème de Thalès ».

Quelques questions concernant cette contraposée :

1) Quand OA/OM n’est pas égal à OB/ON, faut-il parler en plus d’une hypothèse supplémentaire qui permet de visualiser une configuration de Thalès (triangles emboîtés ou version papillon) ? Si oui, deux questions méritent qu’on s’y attarde :

1) doit-on parler de l’hypothèse mise dans le théorème de Thalès (voir celle retenue plus haut) ou bien de celle de la réciproque (O, A, M et O, B, N sont alignés dans le même ordre) ? On pourrait penser plutôt à l’hypothèse du théorème de Thalès (droites sécantes dans notre collège) vu que cette contraposée est une conséquence directe du théorème de Thalès. Mais alors que faire quand on a une question ouverte du type : les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles ? On ne sait pas alors si on utilisera la réciproque ou la contraposée …

2) par ailleurs, est-il préférable d’écrire d’abord cette hypothèse puis de comparer ensuite les rapports de longueurs ou de faire l’inverse ? Cela peut paraitre futile mais ce n’est pas certain.

En fait, cela dépend déjà comment vous organisez votre chapitre.
– soit vous faites théorème puis réciproque puis contraposée ;
– soit vous faites théorème puis contraposée puis théorème.

Dans la première organisation, alors le pb ne se pose plus. Que l’on ait (ou pas) l’égalité (et donc qu’on utilise la réci ou la contraposée), je conçois qu’on puisse parler dans les deux cas de la condition des points alignés dans le même ordre. Et peut importe ici si on fait la comparaison en premier ou en second.

Par contre, dans la seconde organisation, alors je vois mal écrire « points alignés dans le même ordre » comme hypothèse de la contraposée. Et avec cette progression, si la question est ouverte (les droites sont-elles parallèles ?) alors on est obligé d’abord de comparer les rapports de longueurs (les bons) puis de parler de points alignés dans le même ordre (si on a l’égalité) ou de parler ensuite de l’hypothèse du thm (si on n’a pas l’égalité).

Néanmoins comme la contraposée est la conséquence immédiate du thm de Thalès, il peut paraître plus naturel de faire d’abord contraposée puis réci.

Je me pose toutes ces questions car je faisais jusqu’à présent thm puis réci puis contraposée. Mais cette année, je voudrais inverser la réci et la contraposée dans ma progression. D’où mes interrogations.

– Concernant Thalès, je dis à mes élèves que ce n’est pas exactement la réciproque tu théorème de Thalès qui est énoncée car effectivement, la vraie réciproque du théorème de Thalès est fausse (on peut même écrire avec des guillemets « réciproque » du théorème de Thalès). On a renforcé une des conditions pour que cette « réciproque » devienne vraie.

– Et si cela embête vraiment un prof très rigoureux d’avoir une fausse réciproque du théorème de Thalès, pourquoi ne pas énoncer le théorème de Thalès en remplaçant la condition des deux droites sécantes par la condition de l’alignement des points dans le même ordre. Et alors, la bonne réciproque du théorème de Thalès devient vraie !!!

C’est un propos réducteur et le théorème de Pythagore a bien été inventé sans la notion de produits scalaires ou espace normé, de là à en croire qu’il est issu de ça, c’est plutôt l’inverse,le théorème de Pythagore Pythagore a permis de créer une norme et pas l’inverse.
Ton propos est quand même hors sujet, je parle d’enseignement des maths, hein! 😉

A modifier les conditions, la propriété devient vraie mais ce n’est plus la réciproque du théorème de Thalès (ce n’est plus rigoureusement la réciproque en inversant conditions et conclusion), c’est en cela que l’on se trompe.