Evan et son petit tour de magie mathématique

Evan* nous propose un petit jeu, enfin un petit tour de mathémagie! Je vous propose la solution à cette énigme bien connue.
gag1407

Très bel exemple de petit tour magique!

La démonstration n’est pourtant pas si compliquée mais mérite qu’on utilise le calcul littéral.

Prenons notre fameux nombre en l’écrivant xyz comme nous devons juste faire la différence avec zyx, je vais supposer que x>z.

Tout d’abord, je vais montrer que le nombre issu de la soustraction est un multiple de 9 et 11.

Notre premier nombre s’écrit donc
x×100+y×10+z
Je le soustrais avec son composé.

A=x×100+y×10+z−(z×100+y×10+x)

Ce qui donne :

A=x×100+y×10+z−z×100−y×10−x

A=x×100−z×100+z−x
soit A=(x−z)×100+(z−x)

Et enfin

A=(x−z)×100−(x−z)
donc A=99×(x−z)

D’où A=9×11×(x−z)

Je vais montrer que le nombre issu ne peut-être que  de la forme « a9c » avec a+c=9.

Etant donné que nous avons soustrait deux nombres inférieurs à 1000, nous obtenons donc un nombre inférieur à 1000, il peut donc s’écrire à trois chiffres!

Comme c’est un multiple de 11, le chiffre des dizaines est la somme du chiffre des unités avec celui des centaines.

Comme c’est un multiple de 9, la somme des chiffres est aussi un multiple de 9.

Considérons que A soit de la forme : abc non nul.

alors b=a+c

et a+b+c est un multiple de 9, il peut s’écrire de la forme a+b+c=9k

a+a+c+c=9k

2(a+c)=9k

Comme 2 n’est pas divisible par 9 alors a+c est divisible par 9, donc b est divisible par 9 (a+c=b).

Comme b est un chiffre, il est inférieur à 10, et ne peut-être nul (car si b = 0 alors a+c = 0 donc a=b=c=0 or A est non nul!)

donc b=9 et a+c=9

 

Maintenant je vais montrer que le nombre obtenu en ajoutant le composé de A et A, on obtient bien 1089.

B=abc+cba=a×100+b×10+c+c×100+b×10+a

B=(a+c)×100+2×b×10+a+c

B=9×100+2×9×10+9

B=900+180+9=1089

CQFD!

 

 

* Pour ceux qui ne connaisse pas Evan, c’est le chouette gars qui a créé le logo du site et des problèmes DUDU.

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5 commentaires

  1. Ah ben ça alors j’étais justement en train d’écrire le même article sur le même problème… Tu as été le plus rapide et c’est très clair, bravo !

    En prime, voici un truc curieux à propos de 1089 trouvé sur http://www.recreomath.qc.ca/dict_curieux_nombre.htm :

    les produits de 1089 et de deux nombres complémentaires par rapport à 10 sont des palindromes :
    1089 × 1 = 1089 et 1089 × 9 = 9801
    1089 × 2 = 2178 et 1089 × 8 = 8712
    1089 × 3 = 3267 et 1089 × 7 = 7623
    1089 × 4 = 4356 et 1089 × 6 = 6534

    étonnant, non ?

  2. Bien vu pour le fameux 142!
    Et si je choisis 141, ça donne quoi?

    141->141
    141-141=0

    Il faudrait rajouter dans l’énoncé du jeu: Ne choisissez pas de nombre palindrome.

    Amicalement
    G.

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