Auteur/autrice : Arnaud Durand

Enseignant de mathématiques : collège Belle-vue de Loué Membre de l'équipe du "Rallye mathématique de la Sarthe" blog : mathix.org

Développer la compétence chercher et raisonner

En pleine réflexion sur la compétence chercher au travers des TAPI, j’ai mis en place un petit dispositif qui permet de déverrouiller quelques blocages et prendre confiance.

Le constat : face aux élèves bloqués dans des situations de problèmes, le procédé de questionner les élèves sur leurs démarches peut les débloquer sans pour autant les aider. En effet, on leur apporte un soutien, telle une béquille, mais on ne leur indique pas comment faire sans. Résultat notre présence auprès d’eux sera requise pour les futures tâches à prise d’initiatives.

De fait, la vrai problématique est de décomposer un problème en sous-problèmes, ainsi un élève saura une fois cela à quelle question il bloque, pourra solliciter l’enseignant en précisant son obstacle et même mieux, on peut espérer qu’il regarde dans son cours ce sur quoi il bloque.

Quand on a décomposé un problème en sous-problèmes, l’élève a déjà produit un raisonnement, il sait la démarche qu’il faut faire et même si dans ces sous questions, il ne sait plus comment faire, là le cours peut être un soutien fiable, bref, décomposer un problème en sous-problème est un pré-requis à l’autonomie de l’élève.

Mieux cette décomposition en sous-problèmes permet de constater un raisonnement que l’élève a produit, il permet donc d’évaluer en partie la compétence raisonner de l’élève.

Mais alors comment aider les élèves à décomposer le problème en sous-problème?

Tout simplement en n’y répondant pas! Mieux en le questionnant (le problème) !

Oui, en fait, ce que je propose à mes élèves c’est d’imaginer des questions sur une situation de problème. Tous les élèves peuvent se poser des questions, de la plus simple à la plus complexe. Et ce qu’il y a de bien, c’est que les questions simples sont aussi primordiales que les questions complexes. En effet les questions simples sont souvent un pré-requis pour répondre aux questions complexes, sans elles on ne peut pas.

Et cela permet aux élèves de fournir un raisonnement partiel quand il ne se pose pas toutes les bonnes questions, on peut aussi y répondre en admettant certaines données pour fournir une démonstration partielle.

Voilà un schéma correspondant à la démarche de résolution d’un problème d’ après moi.

En fait, dès que le raisonnement est mis en place, cela revient à un exercice guidé que l’on peut trouver dans des livres.

Donc comment les entraîner à ces questionnements? En l’intégrant des situations de problèmes a priori simples en activité flash et en donnant des situations de problème en vidéo (une vidéo qui suscite des questions sans pour autant donner la dite-question, j’en donnerai un exemple dans l’article)

I. Le dispositif en activité flash.

Voici quelques situations données en activité flash :

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Ici, on peut attendre quel est le périmètre de la figure? son aire? Faire réfléchir aux élèves qu’on peut résoudre des problèmes de clôtures ou de recouvrement de terrain…

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Ici, on peut attendre quel est le périmètre de la figure? son aire? Faire réfléchir aux élèves qu’on peut résoudre des problèmes de clôtures ou de recouvrement de terrain… Mais, il y a un bon mais, est-ce qu’on a affaire à un rectangle? Là est l’enjeu de la question primaire : Quelle est cette figure? Peut-on faire le choix de modéliser le problème pour y répondre, en intégrant que ça en est un ?

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Ici, on peut se poser les mêmes questions, et aussi celle de tout simplement

Quel est la longueur du rectangle? On peut aussi imaginer des données, si on connaît le périmètre alors calculer la longueur manquante! Mettre les élèves en posture de lien entre les questions (je lie la question du périmètre et celle du côté manquant)

J’ai pour l’instant entraîner mes élèves de 6emes sur des schémas géométriques et pas encore sur des textes mais c’est prévu…

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On va s’arrêter sur cette dernière dont j’ai pu récupérer l’ensemble des questions qui ont émergées sur deux de mes classes :

  • Quel est le périmètre de la figure?
  • Quelle est l’aire de la figure?
  • Quelle est la longueur d’un côté de la figure ?
  • Quelle est cette figure?
  • Quelles sont les longueurs des diagonales?
  • Les diagonales sont-elles perpendiculaires?
  • Quelle est la parallèle au segment [AB]?
  • Où se situe le point d’intersection des diagonales?
  • Que peut-on dire de (AC) par rapport à [BD]?

Une fois ce travail fait, on peut commencer à hiérarchiser les questions, pour cela il faut classer celle auxquelles on peut répondre directement et les autres.

Donc on identifie les manques et celles qui permettent d’apporter des précisions pour répondre à d’autres!

A partir de cela on constitue la chaîne de résolution des questions si elles existent.(désolé pas de photos)

La question est, est-ce que ce dispositif permet de travailler la résolution de problème concrètement?

Oui et ça m’a bluffé avec une classe qui bloquait lors de la démarche individuelle car les élèves ne s’étaient pas mis en posture de questionnement mais de résolution, la question de l’exercice les a bloqué dans la démarche de résolution, ils voulaient répondre à la grande question avant tout.

J’ai demandé aux élèves de poser des questions…et magie!

II. Le dispositif sur une tâche complexe.

Voici les questions qu’ils se sont posés !

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Et la dernière question a émergé quand un élève a dit s’il y avait pas de rivière ce serait plus simple de poser une question !

Ici ce qu’il y a d’intéressant, c’est la reformulation de la question passant par un mathématisation (le point équidistant de A et B), la question pragmatique : la rivière continue-t-elle? (on peut sous-entendre de solutions non visible si ça continue) Le remplacement de la rivière par une droite (je n’ai pas osé rebondir et les faire travailler le cas d’une rivière droite perpendiculaire à [AB])

En tout cas on voit l’enchaînement :

  • S’il n’y a pas de rivière où doivent-ils se rencontrer?
  • Où est le point équidistant de A et B?
  • Où est la médiatrice de [AB] ?

Les autres sont des questions auxquelles on peut répondre (sauf les pas), mais qui ne répondent pas à l’énoncé.

Pour le second problème, ça a été un peu coinçant, mais les élèves ont retenu un truc!

Leurs questions étaient de l’ordre du calcul (périmètre rayon diamètre) et non de la recherche de lieu de points, en somme des îlots inutiles dans la démarche de résolution, mais des questions qu’on est en droit de se poser!

J’ai donc proposé la question, si le point centre était connu il serait où par rapport à des points du cercle?

J’ai donc repris un conseil à garder , on peut partir de la question en la supposant résolue et en analysant les caractéristique de ce que l’on cherche pour le trouver.

Cela a permis aux élèves de croire au dispositif, il faut s’entraîner à ce poser les bonnes questions

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III. Les problèmes vidéos TAPI bien plus riche!

Ces démarches de questionnement marchent encore mieux sur certaines vidéos , celles sans question (situation de problème) et celle sans données (problème à partir d’estimation).

J’ai donc repris un exercice de Dan Meyer sur le super escalier.

Ici, l’absence de questions permet plus facilement l’émergence des questions.

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Et d’autres vidéos, où la question est donnée mais il n’y a aucune donnée!

Là, les questions peuvent émerger notamment sur les données manquantes et y répondre par des choix éclairés !

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Une animation pour comprendre les valeurs approchées…

Bonjour à tous!

Voilà un projet d’animation reprise à partir des dessins que je faisais en classe (hormis les « coucous,chuis là » qu’il m’arrive de rajouter sur les bonhommes pour égayer les ), je reprends l’écriture en décomposition décimale pour faire émerger la notion de valeur approchée.

Comprendre et faire émerger la « méthode » consistant à regarder le chiffre  » d’après » pour voir quelle valeur est la plus proche… Car cette méthode parfois lâchée auprès des élèves comme cela à ses limites.

Donc je passe souvent par la représentation d’un bonhomme qui fait des pas pour approcher la valeur attendue. Par exemple pour 123,23, le bonhomme va commencer par faire des pas de 100 (un seul), puis 2 pas de 10 … (on devine ainsi la décomposition décimale).

L’idée que les élèves puissent s’imaginer avancer pas à pas, revenir à une sorte d’approche par la proprioception.

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Mais quand il a fini de faire des pas de 1, on peut se poser la question s’il est plus proche de 120 (où il était arrivé en faisait des pas de 10) ou de 130 (s’il avait continué) ainsi on peut décider quelle valeur est la plus proche à la dizaine près. (balayant au passage que pour les valeurs approchées la précision n’est pas forcément à l’unité, au dixième près etc.)

Rien ne vaut une petite vidéo en action.

Voici le lien pour accéder à l’animation (c’est la première version).

https://www.mathix.org/anim_arrondir/

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On ne divise pas par 0!

Bonjour à toutes et tous!

J’ai vu ce matin une vidéo rigolote sur une machine électromécanique qui n’apprécie pas vraiment la division de 1 par 0 !

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J’ai récupéré la vidéo du compte twitter ci-dessous:

Je me suis permis d’y ajouter quelques commentaires pour expliquer ce qu’il se passe.

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Bakel ou Touba : l’animation

Bonjour à toutes et tous!

Voici une petite animation que j’ai pu tester avec mes 6e (pas les deux, la 2e , je suis parti sur de l’extérieur en live)

L’idée de cette animation est de pouvoir asseoir visuellement les caractéristiques de la médiatrice en partant de l’énigme soulevée par la vidéo issue du film le Boulet (j’en parlais il y a longtemps : https://mathix.org/linux/archives/11925 ).

Pour rappel, la vidéo est là :

et voici l’animation qui va avec :

https://www.mathix.org/distance_lieu/

Quelques images :

Un clic gauche permet de tracer des points qui sont soit verts soit rouges en fonction de s’ils sont proches de Bakel ou Touba.

On peut ainsi voir la démarcation qui est la médiatrice du segment. On peut aussi faire apparaître le segment.

Je me suis marré à mettre une poule qui parle en fonction de sa position.

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Avez-vous vu l’erreur? Quand la chaîne HugoDécrypte propose un pourcentage d’augmentation….

Bonjour à toutes et tous!

Rhô que je suis content!!!

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Je viens de recevoir un mail d’Antoine Couton (professeur de maths) qui m’a fait part d’une belle erreur sur le journal vidéo de la chaîne HugoDécrypte. Alors d’abord, je ne remets pas en cause la qualité du travail fait et sur la multitude de vidéos des erreurs sont toujours possibles, France 2 M6 TF1 n’échappent pas à la règle!

Le sujet est par contre pas évident en classe à présenter, il ne s’agit pas de négliger cette information qui reste grave!

Du point de vue didactique, l’erreur est flagrante à voir et comme on a les chiffres, on peut naturellement calculer ce pourcentage d’augmentation!

A destination des élèves du cycle 4 (voir même 3, car juste pour voir l’erreur du point de vue estimation!)

Merci Antoine !!

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Un petit exerciseur pour travailler les arrondis

Bonjour à toutes et tous!

Force est de constater que c’est un écueil présent chez nos élèves, ils ne savent pas arrondir correctement.

J’ai donc concocté un petit exerciseur qu’on peut utiliser en autonomie ou en projection avec la classe pour ré-expliquer ce que c’est arrondir.

L’exerciseur se présente avec l’affichage d’une calculatrice et un résultat trouvé, la consigne nous indique la précision de l’arrondi.

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C’est donc l’utilisation de base.

J’ai ensuite ajouté un bouton « montrer l’encadrement« , on peut cliquer plusieurs fois dessus afin d’afficher petit à petit une représentation complète d’un axe gradué pour pouvoir trancher.

Pour y accéder :

https://www.mathix.org/arrondi/

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Apprendre à chercher ou l’art de poser des questions ?

Bonjour à toutes et tous!

Je suis en pleine réflexion sur la compétence chercher, c’est d’ailleurs une proposition de travail pour le labo que nous allons soumettre à l’équipe.

I. Tâche complexe ou TAPI : premiers obstacles identifiés : compréhension et représentation mathématique

Le constat vécu dans nos classes est l’inaction (ou plutôt l’inaction subie) de certains élèves face à une tâche complexe, plusieurs obstacles coexistent et on peut avoir tendance à ne se restreindre qu’à cela :

  • Problème de compréhension de la consigne/question, ou de ce qu’il se passe dans le problème
  • Difficulté pour lire/extraire les données relatives au problème pour y répondre.

En fait, ici en réaction, on va devoir travailler sur la recherche de données et la compréhension de la question. Pour cela en fonction des problèmes, on va faire progresser les élèves dans la représentation mathématique du problème (modélisation) sur laquelle ensuite on va placer les données.

Par exemple, voici ce que j’avais obtenu de la part de mes élèves sur un problème d’optimisation d’une zone de baignade. (on a travaillé sur les données et la question reformulée, puis on a schématisé)

Ce travail est intéressant et permet vraiment une communication du raisonnement. (on travaille donc aussi la compétence modéliser & communiquer).

II.2e obstacle : la perception de son blocage et de son « échec »

A cela s’ajoute un autre obstacle , bien connu, celui de « l’échec », ou plutôt du sentiment d’échec de l’élève derrière une simple phrase : « je ne sais pas quoi faire ».

L’élève se place donc dans la posture du ‘J’ai cherché et je n’ai pas trouvé‘. En effet, il s’est forcément posé des questions!

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Ici, sur un propos choquant, on se pose des questions!
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Si on se réfère à la questiologie, il suffirait de lui demander :

Quelles hypothèses as-tu fait pour tenter de résoudre le problème qui t’a amené à dire que ce n’était pas bon et qu’il n’y a rien d’autres ?

L’idée à travers cette longue question, est de faire réfléchir l’élève sur sa démarche et l’expliciter. En somme, on questionne l’élève ! L’élève doit apprendre à se questionner soi-même (littéralement c’est la signification de réfléchir, comme dans un miroir, on questionne l’autre qui est soi-même).

Le travail autour de la narration de recherche est donc un levier important pour :

  • montrer que l’élève a produit un raisonnement (ce n’est donc pas un échec comme il le prétend)
  • montrer que l’élève sait communiquer

En somme, cela permet de montrer que l’élève sait chercher. (les vrai chercheurs ne trouve pas, sinon ce sont des inventeurs, et toc!)

On peut également travailler la narration de recherche à travers les oraux, c’est un parti pris à avoir auprès des élèves (j’en parlerai lors d’un autre article sur une présentation de l’expérimentation du labo). A l’oral l’élève peut plus facilement (ou pas) présenter ce qu’il a tenté de faire.

III. 3e obstacle: le découpage en sous-problèmes

Il existe aussi un autre levier, plus discret qui permet le découpage en sous-problèmes simples.

C’est ce que j’appellerai l’art de questionner le problème. (et non plus l’élève)

Et c’est là que rentre en jeu, les situations de problèmes, vous savez les problèmes qui n’ont pas de question! A travers cet exercice, on demande aux élèves de créer la question qu’on pourrait se poser.

Cette liberté qui peut être perturbante, permet de jalonner le raisonnement.

Je m’explique avec quelques exemples :

Voici des supports sur lesquels on peut demander aux élèves en activité flash : quelle question pourrait-on se poser ?

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Ici, évidemment,la question du périmètre et de l’aire émergera, toutes les données y sont !

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Là, plus délicat, les questions peuvent émerger,mais un garde fou à poser, on ne sait pas si c’est un rectangle, donc On a une question dite intermédiaire, « si c’est un rectangle , alors quel est le périmètre de la figure? » . vous voyez sans pour autant qu’on ait toutes les informations, on peut et doit s’autoriser à se poser la question.

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Là on pourrait se demander quel périmètre ou aire, mais aussi quelle longueur doit-on avoir pour que les deux parties aient le même périmètre , aire etc… ici, le nombre de questions est très grand.

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Et là, quelle longueur on pourrait calculer si on connaissait …

Où, plus simple, quel théorème on peut utiliser?

Je pense que faire ce genre d’exercices en activité flash, peut permettre aux élèves de s’habituer à questionner la situation de problème.

Et puis on peut aller un peu plus loin sur des situations de problèmes.

Je vais choisir par exemple un problème de Dan Meyer que j’ai traité avec mes élèves :

Il a fallu questionner le problème puisqu’il n’y avait pas de questions et vous allez voir qu’on a de tout et ça a libéré en quelque sorte le questionnement le fait de ne pas avoir de question :

Voici en classe dialoguée ce qu’on a obtenu (avec une question non écrite : Pourquoi il court comme ça? Recalée car non mathématique)

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Vous avez vu ? Mes 6eme on même questionné la distance parcourue alors que rien ne s’y prête en terme de données !

Voilà, où en est ma réflexion, il me tarde de décanter tout ça, plus proprement, mais de jeter ça par écrit, ça fait du bien! 🙂

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Exerciseur sur les transformations passe en version 5

Bonjour à tous!

Voici la 5e version (qui a donc très rapidement évolué depuis samedi)

  • J’ai donc ajouté les translations et symétries axiales (horizontal et diagonal) !
  • D’autres figures sont possibles (comme le drapeau, le rectangle, un poisson ou un quadrilatère quelconque)

J’ai grossi le quadrillage pour l’impression.

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C’est donc toujours à la même adresse !

https://www.mathix.org/transformation/

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Exerciseur sur les homothéties (et accessoirement, rotation simple, translation et symétrie axiale et centrale) avec générateur de feuilles d’exercices

Bonjour à tous!

Après un contrôle un peu compliqué je me suis mis en tête de faire un exerciseur couplé à un générateur d’exercices sur des transformations sur un quadrillage.

Je suis plutôt content du résultat surtout pour les homothéties (qui était ma volonté première).

L’exerciseur propose des situations sur un quadrillage et on doit dessiner le rectangle image.

Il nous indique quand on a tort.

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et quand on a raison :

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Et puis si on en a marre on peut demander la solution.

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Si on veut un format papier, on peut également générer une feuille avec 4 situations générées aléatoirement sur le thème voulu (homothétie, symétrie centrale ou rotation) avec en 2e page la correction (dans mon idée j’imagine en recto-exo verso-corrigé).

Voici un pdf généré avec le programme sur l’homothétie :

Le programme est disponible là : https://www.mathix.org/transformation/

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