Catégorie : 4eme

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Vous avez dit (la conjecture de) Syracuse ?

Bonjour à tous !

Bon je rebondis un tout petit peu sur un projet d’activité Scratch que j’avais fait avec mes élèves, où j’ai ajouté en bonus la conjecture Syracuse.

Lothar Collatz.jpg
Lothar Collatz qui énonça la première fois cette conjecture

Alors pour rappel la conjecture de Syracuse se base sur l’algorithme suivant :

On choisit un nombre.
Si ce nombre est pair alors on le divise par 2, 
sinon on le multiple par 3 puis on ajoute 1.
On réitère avec ce nouveau nombre.
On s'arrête dès qu'on obtient 1.

La conjecture de Syracuse stipule que ce programme s’arrêtera pour tous les nombres entiers positifs.

Alors faire une activité de programmation là-dessus, bof bof en soi à part travailler sur le bloc « modulo » rien de bien méchant.

Mais le petit plus, c’est la théâtralisation ! Oui, c’est avant tout le vocabulaire mathématique qui existe autour de ce programme.

Et franchement, je l’ai vu avec deux élèves qui ont pu faire cette activité, ils ont trouvé de l’intérêt à partir du moment où j’ai parlé du vol du nombre, de son atterrissage, de son altitude maximale atteinte, voir de son vol en altitude.

Avion, Plan, Hatz Cb-1, Classique, Vintage
Lui c’est le nombre 27 mon préféré…

Le temps de vol est nombre d’itérations que l’on fait avant d’atteindre 1 (où ici le nombre atterri). Le temps de vol en altitude, c’est le temps que le nombre reste supérieur au nombre qu’il était au départ (autant dire que les nombres pairs ont un temps de vol en altitude nul).

Bref, pour faire jou-jou, j’ai conçu un petit programme qui dessine le vol des nombres.

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Il y a des propriétés intéressantes sur certains nombres voisins qui ont un vol quasi identiques comme 54 et 55, ça titille la curiosité, pourquoi, hein pourquoi? Et puis pourquoi 31 et 27 ont quasi le même vol et on des altitudes hyper grandes contrairement à 28? Rhô !

Bref, là on voit à travers l’image du vol d’avion (qui inspire l’imagination) que la curiosité est piquée au vif!

Pour voir la simulation c’est par ici :

Ensuite, on peut aussi voir l’arbre des vols des nombres inférieurs à 1000 (image issue de wikipédia)

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Exerciseur avec correction sur Thalès

Bonsoir à tous!

Voilà un petit projet qui se termine et qui va s’intégrer dans mon dispositif de plan de travail. Effectivement au début j’utilisais le super site Coopmaths. Mais j’avais envie de quelque chose de plus interactif et un peu plus exhaustif sur les manières d’écrire les rédactions. Mais franchement si vous cherchez des exerciseurs y en a plein sur Coopmaths et qui sont de qualité ! Vraiment ça vaut le coup !

Alors le projet n’est pas terminé mais fonctionnel, je compte ajouter le tableau de proportionnalité avec le théorème de Thalès, cela reste valable, le théorème de Thalès indiquant seulement que les longueurs des triangles sont proportionnelles.

J’ai proposé que Coopmaths reprenne mon exerciseur s’il le souhaite en partie ou complètement.

On peut faire varier la correction en cliquant sur les conditions et les rapports pour l’instant. EDIT : J’ai aussi ajouté la configuration papillon

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Le bouton aide permet de montrer les deux triangles qui sont semblables.

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Et voici la correction :

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Vous avez remarqué la différence avec l’image précédente ?

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Bref, tout ça c’est par ici :

https://mathix.org/thales

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Et si je vous disais que la notion de réciproque du théorème de Pythagore n’a pas de sens ? Et si les « erreurs » des élèves étaient …justifiées ?

Bon je vais jeter un petit pavé dans la mare…

Rétrospective, Réforme 2016, on ôte le terme de « réciproque » du théorème de Pythagore, j’étais colère, car je voyais beaucoup de cohérence avec la séquence sur les droites des milieux, sur le travail de notion d’implication et réciproque.

Puis on fait avec, je parle d’égalité de Pythagore vérifiée ou non. Puis 2019 on réinsère le terme de réciproque pour Pythagore…. Grrrrrrr

Mais là je n’y trouve plus de cohérence.

C’est pas nouveau avec Ju’ on est sur un projet de rétablir des démonstrations, et donc on a fait un travail de construction des notions les unes par rapport aux autres.

Bref, donc on a fait un petit travail sur Pythagore (qui n’est pas encore fini avec des Guests de malade), et là on a commencé à réfléchir à la réciproque de ce théorème.

Comment la démontrer?

Quand on y réfléchit, c’est simple ! La réciproque se démontre avec le théorème direct ! Si si! Et d’ailleurs c’est sans doute naturellement que les élèves le font sur les cas qu’on leurs propose.

On essaie ?

On démarre donc par un triangle ABC , qui vérifie l’égalité de Pythagore.

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On va créer un autre triangle A’B’C’, cette fois-ci rectangle, qui possède 2 côtés de même longueur que le premier triangle. On sélectionne les côtés les plus petits.

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Comme le triangle A’B’C’ est rectangle, je peux donc appliquer le théorème de Pythagore.

J’obtiens donc B’C’²=a²+b², d’où B’C’²=c². Comme B’C’ est une longueur positive, B’C’=c.

On vient donc de montrer que les triangle A’B’C’ et ABC sont égaux, en effet ils ont leurs côtés égaux deux à deux.

Comme ce sont des triangles égaux, ils possèdent également des angles deux à deux égaux, donc ABC est rectangle.

Voilà donc en utilisant les propriétés des triangles égaux, on peut « démontrer » la réciproque du théorème de Pythagore avec le théorème de Pythagore.

Revenons sur un exemple de rédaction élève « mauvaise »

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Sur cette démonstration, on peut comprendre que l’élève sous-entend maladroitement l’utilisation des triangles égaux, en testant si on obtient les 3 mêmes côtés.

Donc ici, il n’y aurait pas de problème de raisonnement, sans doute un problème de communication car il ne préciserait pas qu’il utilise la propriété des triangles égaux.

Que faire de ça? Et bien je ne sais pas trop, le mot doit être évoqué, est-ce logique? Parle-t-on de réciproque du théorème de Pythagore au lycée ?

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