Catégorie : Réflexions

Développer la compétence chercher et raisonner

En pleine réflexion sur la compétence chercher au travers des TAPI, j’ai mis en place un petit dispositif qui permet de déverrouiller quelques blocages et prendre confiance.

Le constat : face aux élèves bloqués dans des situations de problèmes, le procédé de questionner les élèves sur leurs démarches peut les débloquer sans pour autant les aider. En effet, on leur apporte un soutien, telle une béquille, mais on ne leur indique pas comment faire sans. Résultat notre présence auprès d’eux sera requise pour les futures tâches à prise d’initiatives.

De fait, la vrai problématique est de décomposer un problème en sous-problèmes, ainsi un élève saura une fois cela à quelle question il bloque, pourra solliciter l’enseignant en précisant son obstacle et même mieux, on peut espérer qu’il regarde dans son cours ce sur quoi il bloque.

Quand on a décomposé un problème en sous-problèmes, l’élève a déjà produit un raisonnement, il sait la démarche qu’il faut faire et même si dans ces sous questions, il ne sait plus comment faire, là le cours peut être un soutien fiable, bref, décomposer un problème en sous-problème est un pré-requis à l’autonomie de l’élève.

Mieux cette décomposition en sous-problèmes permet de constater un raisonnement que l’élève a produit, il permet donc d’évaluer en partie la compétence raisonner de l’élève.

Mais alors comment aider les élèves à décomposer le problème en sous-problème?

Tout simplement en n’y répondant pas! Mieux en le questionnant (le problème) !

Oui, en fait, ce que je propose à mes élèves c’est d’imaginer des questions sur une situation de problème. Tous les élèves peuvent se poser des questions, de la plus simple à la plus complexe. Et ce qu’il y a de bien, c’est que les questions simples sont aussi primordiales que les questions complexes. En effet les questions simples sont souvent un pré-requis pour répondre aux questions complexes, sans elles on ne peut pas.

Et cela permet aux élèves de fournir un raisonnement partiel quand il ne se pose pas toutes les bonnes questions, on peut aussi y répondre en admettant certaines données pour fournir une démonstration partielle.

Voilà un schéma correspondant à la démarche de résolution d’un problème d’ après moi.

En fait, dès que le raisonnement est mis en place, cela revient à un exercice guidé que l’on peut trouver dans des livres.

Donc comment les entraîner à ces questionnements? En l’intégrant des situations de problèmes a priori simples en activité flash et en donnant des situations de problème en vidéo (une vidéo qui suscite des questions sans pour autant donner la dite-question, j’en donnerai un exemple dans l’article)

I. Le dispositif en activité flash.

Voici quelques situations données en activité flash :

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Ici, on peut attendre quel est le périmètre de la figure? son aire? Faire réfléchir aux élèves qu’on peut résoudre des problèmes de clôtures ou de recouvrement de terrain…

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Ici, on peut attendre quel est le périmètre de la figure? son aire? Faire réfléchir aux élèves qu’on peut résoudre des problèmes de clôtures ou de recouvrement de terrain… Mais, il y a un bon mais, est-ce qu’on a affaire à un rectangle? Là est l’enjeu de la question primaire : Quelle est cette figure? Peut-on faire le choix de modéliser le problème pour y répondre, en intégrant que ça en est un ?

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Ici, on peut se poser les mêmes questions, et aussi celle de tout simplement

Quel est la longueur du rectangle? On peut aussi imaginer des données, si on connaît le périmètre alors calculer la longueur manquante! Mettre les élèves en posture de lien entre les questions (je lie la question du périmètre et celle du côté manquant)

J’ai pour l’instant entraîner mes élèves de 6emes sur des schémas géométriques et pas encore sur des textes mais c’est prévu…

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On va s’arrêter sur cette dernière dont j’ai pu récupérer l’ensemble des questions qui ont émergées sur deux de mes classes :

  • Quel est le périmètre de la figure?
  • Quelle est l’aire de la figure?
  • Quelle est la longueur d’un côté de la figure ?
  • Quelle est cette figure?
  • Quelles sont les longueurs des diagonales?
  • Les diagonales sont-elles perpendiculaires?
  • Quelle est la parallèle au segment [AB]?
  • Où se situe le point d’intersection des diagonales?
  • Que peut-on dire de (AC) par rapport à [BD]?

Une fois ce travail fait, on peut commencer à hiérarchiser les questions, pour cela il faut classer celle auxquelles on peut répondre directement et les autres.

Donc on identifie les manques et celles qui permettent d’apporter des précisions pour répondre à d’autres!

A partir de cela on constitue la chaîne de résolution des questions si elles existent.(désolé pas de photos)

La question est, est-ce que ce dispositif permet de travailler la résolution de problème concrètement?

Oui et ça m’a bluffé avec une classe qui bloquait lors de la démarche individuelle car les élèves ne s’étaient pas mis en posture de questionnement mais de résolution, la question de l’exercice les a bloqué dans la démarche de résolution, ils voulaient répondre à la grande question avant tout.

J’ai demandé aux élèves de poser des questions…et magie!

II. Le dispositif sur une tâche complexe.

Voici les questions qu’ils se sont posés !

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Et la dernière question a émergé quand un élève a dit s’il y avait pas de rivière ce serait plus simple de poser une question !

Ici ce qu’il y a d’intéressant, c’est la reformulation de la question passant par un mathématisation (le point équidistant de A et B), la question pragmatique : la rivière continue-t-elle? (on peut sous-entendre de solutions non visible si ça continue) Le remplacement de la rivière par une droite (je n’ai pas osé rebondir et les faire travailler le cas d’une rivière droite perpendiculaire à [AB])

En tout cas on voit l’enchaînement :

  • S’il n’y a pas de rivière où doivent-ils se rencontrer?
  • Où est le point équidistant de A et B?
  • Où est la médiatrice de [AB] ?

Les autres sont des questions auxquelles on peut répondre (sauf les pas), mais qui ne répondent pas à l’énoncé.

Pour le second problème, ça a été un peu coinçant, mais les élèves ont retenu un truc!

Leurs questions étaient de l’ordre du calcul (périmètre rayon diamètre) et non de la recherche de lieu de points, en somme des îlots inutiles dans la démarche de résolution, mais des questions qu’on est en droit de se poser!

J’ai donc proposé la question, si le point centre était connu il serait où par rapport à des points du cercle?

J’ai donc repris un conseil à garder , on peut partir de la question en la supposant résolue et en analysant les caractéristique de ce que l’on cherche pour le trouver.

Cela a permis aux élèves de croire au dispositif, il faut s’entraîner à ce poser les bonnes questions

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III. Les problèmes vidéos TAPI bien plus riche!

Ces démarches de questionnement marchent encore mieux sur certaines vidéos , celles sans question (situation de problème) et celle sans données (problème à partir d’estimation).

J’ai donc repris un exercice de Dan Meyer sur le super escalier.

Ici, l’absence de questions permet plus facilement l’émergence des questions.

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Et d’autres vidéos, où la question est donnée mais il n’y a aucune donnée!

Là, les questions peuvent émerger notamment sur les données manquantes et y répondre par des choix éclairés !

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Apprendre à chercher ou l’art de poser des questions ?

Bonjour à toutes et tous!

Je suis en pleine réflexion sur la compétence chercher, c’est d’ailleurs une proposition de travail pour le labo que nous allons soumettre à l’équipe.

I. Tâche complexe ou TAPI : premiers obstacles identifiés : compréhension et représentation mathématique

Le constat vécu dans nos classes est l’inaction (ou plutôt l’inaction subie) de certains élèves face à une tâche complexe, plusieurs obstacles coexistent et on peut avoir tendance à ne se restreindre qu’à cela :

  • Problème de compréhension de la consigne/question, ou de ce qu’il se passe dans le problème
  • Difficulté pour lire/extraire les données relatives au problème pour y répondre.

En fait, ici en réaction, on va devoir travailler sur la recherche de données et la compréhension de la question. Pour cela en fonction des problèmes, on va faire progresser les élèves dans la représentation mathématique du problème (modélisation) sur laquelle ensuite on va placer les données.

Par exemple, voici ce que j’avais obtenu de la part de mes élèves sur un problème d’optimisation d’une zone de baignade. (on a travaillé sur les données et la question reformulée, puis on a schématisé)

Ce travail est intéressant et permet vraiment une communication du raisonnement. (on travaille donc aussi la compétence modéliser & communiquer).

II.2e obstacle : la perception de son blocage et de son « échec »

A cela s’ajoute un autre obstacle , bien connu, celui de « l’échec », ou plutôt du sentiment d’échec de l’élève derrière une simple phrase : « je ne sais pas quoi faire ».

L’élève se place donc dans la posture du ‘J’ai cherché et je n’ai pas trouvé‘. En effet, il s’est forcément posé des questions!

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Ici, sur un propos choquant, on se pose des questions!
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Si on se réfère à la questiologie, il suffirait de lui demander :

Quelles hypothèses as-tu fait pour tenter de résoudre le problème qui t’a amené à dire que ce n’était pas bon et qu’il n’y a rien d’autres ?

L’idée à travers cette longue question, est de faire réfléchir l’élève sur sa démarche et l’expliciter. En somme, on questionne l’élève ! L’élève doit apprendre à se questionner soi-même (littéralement c’est la signification de réfléchir, comme dans un miroir, on questionne l’autre qui est soi-même).

Le travail autour de la narration de recherche est donc un levier important pour :

  • montrer que l’élève a produit un raisonnement (ce n’est donc pas un échec comme il le prétend)
  • montrer que l’élève sait communiquer

En somme, cela permet de montrer que l’élève sait chercher. (les vrai chercheurs ne trouve pas, sinon ce sont des inventeurs, et toc!)

On peut également travailler la narration de recherche à travers les oraux, c’est un parti pris à avoir auprès des élèves (j’en parlerai lors d’un autre article sur une présentation de l’expérimentation du labo). A l’oral l’élève peut plus facilement (ou pas) présenter ce qu’il a tenté de faire.

III. 3e obstacle: le découpage en sous-problèmes

Il existe aussi un autre levier, plus discret qui permet le découpage en sous-problèmes simples.

C’est ce que j’appellerai l’art de questionner le problème. (et non plus l’élève)

Et c’est là que rentre en jeu, les situations de problèmes, vous savez les problèmes qui n’ont pas de question! A travers cet exercice, on demande aux élèves de créer la question qu’on pourrait se poser.

Cette liberté qui peut être perturbante, permet de jalonner le raisonnement.

Je m’explique avec quelques exemples :

Voici des supports sur lesquels on peut demander aux élèves en activité flash : quelle question pourrait-on se poser ?

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Ici, évidemment,la question du périmètre et de l’aire émergera, toutes les données y sont !

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Là, plus délicat, les questions peuvent émerger,mais un garde fou à poser, on ne sait pas si c’est un rectangle, donc On a une question dite intermédiaire, « si c’est un rectangle , alors quel est le périmètre de la figure? » . vous voyez sans pour autant qu’on ait toutes les informations, on peut et doit s’autoriser à se poser la question.

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Là on pourrait se demander quel périmètre ou aire, mais aussi quelle longueur doit-on avoir pour que les deux parties aient le même périmètre , aire etc… ici, le nombre de questions est très grand.

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Et là, quelle longueur on pourrait calculer si on connaissait …

Où, plus simple, quel théorème on peut utiliser?

Je pense que faire ce genre d’exercices en activité flash, peut permettre aux élèves de s’habituer à questionner la situation de problème.

Et puis on peut aller un peu plus loin sur des situations de problèmes.

Je vais choisir par exemple un problème de Dan Meyer que j’ai traité avec mes élèves :

Il a fallu questionner le problème puisqu’il n’y avait pas de questions et vous allez voir qu’on a de tout et ça a libéré en quelque sorte le questionnement le fait de ne pas avoir de question :

Voici en classe dialoguée ce qu’on a obtenu (avec une question non écrite : Pourquoi il court comme ça? Recalée car non mathématique)

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Vous avez vu ? Mes 6eme on même questionné la distance parcourue alors que rien ne s’y prête en terme de données !

Voilà, où en est ma réflexion, il me tarde de décanter tout ça, plus proprement, mais de jeter ça par écrit, ça fait du bien! 🙂

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Plan de travail numérique et papier sur les équations (4e)

Bonjour à tous!

Bon je m’étais promis de faire ce chantier cette année.

Je passe la séquence sur les équations en autonomie totale. En fait, je souhaitais faire 3 séquences complètes sur la classe inversée (sans tout faire en classe inversée, l’idée est de varier les plaisirs quand même !).

Les équations étant un gros morceaux où les élèves ne sont pas du tout au même point! En effet, j’ai commencé les équations à travers l’activité flash, mais j’ai toujours des récalcitrants. Difficile pour certains élèves de s’approprier cette notion en pointillé alors qu’on est sur une autre notion (alors que pour d’autres ça les arrange).

J’ai donc passé cette séquence en classe inversée. Cette séquence devrait être réadaptées pour les 3e (juste à rajouter l’équation produit nul et x²=a).

Comme à mon habitude, je créé le besoin par une vidéo problème infaisable ou difficile faisable. (je mets en appétit),

puis si besoin :

puis graduellement, en passant par le programme de calcul pour résoudre et aussi l’animation que j’avais faite (la balance de Roberval), j’arrive à la résolution de problème avec les équations.

Voilà pour moi ça tiens la route, il y a plus qu’à tester!

Voilà ce que ça donne sur mon plan numérique :

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Voilà le lien vers la construction du parcours (j’en ai profité pour résoudre un bug récalcitrant)

https://www.mathix.org/plan-numerique/index.html?fichier=equation

Pour la version papier :

Avec les fiches d’exercices (la partie problèmes vient de SESAMATHS):

La correction !

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La réciproque du théorème de Thalès est fausse, pourquoi l’enseigner comme cela ? Et si on réécrivait le théorème de Pythagore ?

Ouh lala, le titre est osé, mais tant pis, il illustre une discussion que j’ai eu avec Julien sur le théorème de Pythagore d’abord puis on a dévié sur le théorème de Thalès et c’est une réflexion que j’ai pu avoir certains de mes collègues …

Alors cet article n’a pour but que de poser un questionnement et non faire de la provocation, l’idée est claire dans mon esprit. C’est une vraie gêne que j’ai vis-à-vis du programme du cycle 4 tel qu’il est annoncé et je n’ai pas vraiment de solution satisfaisante.

I.Le théorème de Pythagore

Alors j’en avais déjà parlé là, d’ailleurs dans cet article, je montre la démonstration de la « réciproque du théorème de Pythagore » (je vous laisserai la voir,en plus elle fait l’objet d’un projet de preuve par DU²), cette démonstration repose sur le théorème de Pythagore direct et les triangles égaux.

Cela pose question surtout qu’en mathématiques pour tout le reste, on aura tendance à utiliser le mot réciproque surtout lorsque la démonstration ne découle pas du premier, autrement on parle directement d’équivalence.Or là, la réciprocité de ce théorème repose sur les triangles égaux, c’est évident pour les élèves et également des professeurs.

Souvent les élèves ont tendant à (re)calculer un côté et conclure en fonction de ce qu’il trouve, en fait ils utilisent les triangles égaux de manière implicite. ( notion vue 5e)

D’ailleurs au brevet, nous ne pénalisons pas les élèves pour ne pas faire la différence entre réciproque et théorème, je peux me poser la question si ce n’est pas pour cette raison.

En fait, le théorème de Pythagore se suffit amplement à lui-même et permet rapidement de démontrer qu’un triangle est rectangle ou non.

Peut-on parler de simplification de rédaction? Non car parfois les élèves ne savaient pas quoi choisir, contraposé, réciproque, sens direct avec une rédaction très figée. Alors que pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle, le théorème de Pythagore le peut, pour montrer qu’un triangle est rectangle, le théorème de Pythagore le peut aussi, pourquoi s’embarrasser d’une réciproque… qui ne sert à rien?

On pourrait arguer à juste titre que les élèves doivent travailler la notion d’implication, de réciproque, d’équivalence.

Sauf que comme je l’ai dit, on peut démontrer qu’un triangle est rectangle ou non en utilisant simplement le théorème de Pythagore.

Alors pourquoi ne pas transformer le théorème de Pythagore en une équivalence avec un « si et seulement si » et de démontrer le sens direct et réciproque rapidement? Ça simplifierait bien des tracas et surtout une égalité de traitement entre les professeurs qui vont accepter et ceux qui vont refuser.

Et puis…. cette notion de réciproque pose problème surtout avec le théorème de Thalès.

Les deux mots réciproques dans « réciproque du théorème de Pythagore » et « réciproque du théorème de Thalès », n’ont pas le même sens !

II.Le théorème de Thalès

Normalement si on a une propriété avec deux propositions P et Q : P→Q alors la réciproque est Q→P.(d’ailleurs elle fonctionne bien pour le théorème de Pythagore).

Entendons-nous, une réciproque d’un théorème existe toujours, elle est, dans certain cas, vraie, dans d’autres cas, fausse.

D’ailleurs la réciproque d’une implication fausse peut être vraie. Et si la réciproque d’une implication vraie est vraie, on parle d’équivalence.

Donc effectivement si on s’en tient à cette définition, le théorème de Thalès tel qu’il est écrit a bien une réciproque mais… pas celle-là.

Jouons à un jeu.

Le théorème de Thalès (avec l’utilisation des triangles semblables, la forme est plus simple et cohérente avec ce qu’on pourrait enseigner en 4e, au pire on dira que les longueurs des côtés entre les triangles sont proportionnelles, mais c’est long à écrire.) :

« Soient deux droites sécantes coupées par deux autres droites. Si ces dernières sont parallèles alors les deux triangles ainsi formés sont semblables. »

La réciproque de cette affirmation devient :

« Soient deux droites sécantes coupées par deux autres droites. Si les deux triangles ainsi formés sont semblables alors ces dernières sont parallèles. »

Un simple contre-exemple suffit pour montrer que cette proposition est fausse.

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Donc logiquement je suis en droit d’affirmer que la réciproque du théorème de Thalès n’est pas vraie.

On le sait, il y a plus et moins de conditions pour obtenir le parallélisme de deux droites.

Le moins, deux rapports égaux au lieu de trois.

Le plus, un ordre précis des points de concours.

En fait, on cherche à montrer que les triangles sont homothétiques l’un de l’autre, on va montrer que C, D et O sont l’image par une homothétie de centre O respectivement de A, B et O. Pour le point O c’est trivial donc on se limite à 2 points donc deux rapports.

Dans le rapport homothétique, le sens a une importance d’où l’ordre des points, on veut éviter ce cas-là (bien connu puisque très classique)

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On se retrouve donc bien avec ce type de figure lorsqu’on est dans le cas d’une homothétie. :

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donc cela pose question sur l’intitulé du théorème de Thalès lui-même tel qu’on l’enseigne en 4e et 3e.

Reprenons donc cet intitulé pour que la réciproque du théorème de Thalès soit cette fois-ci vraie.

Je propose :

« Soit deux droites sécantes coupées par deux autres droites,si ces dernières sont parallèles alors les deux triangles ainsi formés sont homothétiques. »

On ne perd rien sur le théorème direct, on a juste une précision sur la disposition des triangles l’un par rapport à l’autre.

Dans ce cas , la réciproque est vraie et les conditions sont tout à fait valables.

MAIS (il faut bien un mais) la notion d’homothétie est privilégiée en 3e (voir les repères de progressivité).

Donc que faire?

Doit-on apprendre un demi-théorème de Thalès en 4e (ce qui est déjà le cas d’ailleurs car on se limite au cas des triangles emboîtés) que l’on reformule ensuite en 3e?

J’en viendrai presque à me dire pour couper la poire en deux qu’on doit parler de triangles semblables en 4e et de parler du théorème de Thalès avec le mot semblables et d’évoquer la l’homothétie en 3e et de revenir sur la proposition du théorème de Thalès en disant qu’on perd une information cruciale, les triangles sont, en fait, homothétiques.

Quoi qu’il arrive, il faudrait déjà considérer le théorème de Thalès comme rapport entre deux triangles et non une simple égalité de rapports, car on perd la notion de transformation sous-jacente.

Bref ces points sur le théorème de Pythagore celui de Thalès m’amène à penser que la notion de réciproque est quand même très malmenée, rendu inutile dans un cas et fausse dans l’autre…

Doit-on continuer à galvauder la notion de réciproque? A quelle fin?

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Rendre hautement cognitive une tâche réputée bassement cognitive : la trace écrite

Bonjour à tous!

Je vous livre somme toute ma réflexion sur le sujet, comme toute réflexion, elle peut changer, vaciller. Communiquer sur ses questionnements est important pour moi, donc je m’y mets!

Alors tout d’abord, un peu de contexte : Je travaille, ou plutôt ma réflexion dans mon métier d’enseignant porte sur l’autonomie des élèves depuis 10 ans, ma porte d’entrée dans cette problématique a été le travail de groupe autour de tâches complexes où les informations manquent (connaissances ou données) ce qui requiert de prendre des initiatives. Pour moi, la prise d’initiative est un moteur de l’autonomie, pas le seul et c’est loin d’être suffisant, d’ailleurs, disons la première marche vers l’autonomie. Puis depuis quelques années j’expérimente des dispositifs qui s’apparentent à de la classe inversée (ou « renversée » -> Voir la classe renversée de CAILLET)

L’autonomie

Prendre une initiative, pour moi, c’est avoir assez d’assurance, pour se dégager temporairement de la structure du cours et de l’enseignant, c’est pouvoir donc suivre son propre parcours, parcours que l’on construit soi-même et qui n’est donc a priori pas construit par l’enseignant.

Alors être autonome, ça va plus loin, la temporalité joue un rôle clé, l’élève peut se dégager de la structure du cours et de l’enseignant quand il le souhaite et suivre son propre parcours, parcours qu’il construit lui-même.

En écrivant ses lignes plus qu’en le pensant, je me rend compte qu’a priori, on pourrait croire qu’il faudrait rendre anarchique nos élèves, pas vraiment… Quoique …

Donc avant d’aller plus loin, il faudrait donc différencier Autonomie, Indépendance, Marginalisation.

Un individu indépendant est une personne qui n’a pas besoin de ressources/systèmes supplémentaires pour subsister. Donc a priori si un élève est indépendant, on peut supposer qu’il a déjà les connaissances (ce sont les ressources), donc a priori, il n’est pas apprenant, donc il n’est plus élève. Cela signifierait que l’enseignant n’a rien à lui a apprendre, donc là, le rôle de l’enseignant doit être de le « nourrir » suffisamment, ou de confronter son savoir à un problème assez complexe pour lui.

Un individu marginal est une personne qui est en rejet du groupe, de l’institution, donc a priori un élève marginal n’est plus élève car il perd automatiquement son statut de par son rejet de la structure qui lui confère son statut. Donc il n’est pas apprenant non plus.

Une personne autonome est une personne qui peut subsister par des moyens choisis et non subis, donc on se rapprocherait de « l’élève » indépendant mais qui sait qu’il doit trouver des ressources. Il a également conscience de ce qu’il ne sait pas. Les ressources ou moyens d’accès à la connaissance sont choisis par lui. « Je choisis de voir l’enseignant, ou d’aller dans les livres, ou d’aller sur internet… pour combler un manque de …. » . Quelqu’un d’autonome est donc apte à prendre du recul sur la finalité de sa mission d’élève : Développer des compétences et connaissances (rigolo d’ailleurs car être autonome est elle-même une compétence…).

Disons que les élèves dans le respect de chacun, doivent pouvoir s’émanciper de la structure du cours s’il le souhaite, il ne s’agit pas d’être indépendant, mais de l’être si on le souhaite pour aller vers la connaissance souhaitée par un moyen choisi.

L’autonomie réside donc dans la capacité de l’élève à choisir de lui même cette émancipation.

Cela suppose 2 exigences :

  • Avoir assez d’assurance (Il faut donc que la structure du cours le mette en confiance)
  • Avoir le choix (donc il faut que l’enseignant laisse de la place au choix et accepte de lâcher prise)

Donc maintenant que ma réflexion sur ce qu’est l’autonomie est posée, je vais donc rebondir sur des expérimentations de classes inversées que j’ai découvert lors de mes travaux dans le groupe de réflexions sur les classes inversées et mon travail de formateur (que pour un an, d’ailleurs puisque j’ai décidé d’arrêter )

Il y a 4 ou 5 ans, j’ai donc mis en place un dispositif lié à la trace de cours. L’idée initiale était d’apprendre aux élèves à créer une fiche personnalisée, car une trace de cours que l’on donne n’est pas forcément adaptée à tous. Quoi de mieux qu’un élève qui créé la sienne ? Avouez-le on trouverais ça chouette? Laisse-t-on de la place à l’élève pour le faire?

Donc, j’ai conçu un livret de connaissance (un peu indigeste car complet et écrit petit) que je donne en début d’année. Je leur explique que pour moi c’est une ressource que je leur fourni mais que je souhaite qu’ils créent leurs cours à eux. Il est donc important que le livret soit accessible mais pas trop pour que les élèves ressentent le besoin de rédiger le cours autrement.

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Donc ici, je leur fourni une ressource, puis une autre à l’aide d’un QRcode , où il y a quelques vidéos, des exerciseurs etc (voir ici).

Donc ici, je leur donne des ressources « fiables » pour moi (normal ce sont les miennes). L’idée est de sécuriser l’élève dans la recherche d’informations pour le mettre en confiance : « Tu as de quoi trouver la réponse à tes questions »

Bref, donc la trace de cours dans ce dispositif s’écrit au fur et à mesure, en classe et chez lui en fonction de ce que vit l’élève. J’ai bien entendu quelques points de repère pour eux, comme les objectifs de chaque chapitre et où se situent les connaissances dans le livret (pour gagner en efficacité, l’idée étant de ne pas les noyer).

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Également, je leur signifie que ce sont des ressources personnelles mais que rien n’empêche d’aller voir mieux ailleurs, le but étant qu’ils trouvent des ressources qui leurs plaisent. Vous vous souvenez? Mettre en confiance et laisser le choix.

Donc ici, sans réellement théoriser à ce point, je souhaitais rendre autonome les élèves sur la trace écrite. Peut-on être autonome sur tout? Non, ou sinon l’élève n’a pas besoin de l’école comme lieu d’instruction, un bon livre d’exercices et internet lui suffirait. Je considère toutefois que l’école est aussi un lieu de socialisation important au regard des compétences psychosociales. Il faut donc se créer une focale : sur quoi je vais laisser les élèves la possibilité d’être autonome. Moi, je voulais qu’ils soient autonomes sur les créations de fiche pour apprendre.

Revenons à de la classe inversée un peu plus « classique » (est-ce qu’une classe inversée classique existe?), disons de niveau 1 selon Marcel LEBRUN où le cours est vu à la maison et les exercices tâches complexes sont exécutées en classe. Je reprendrais les mots de Olivier QUINET qui a fait un travail formidable sur la classe inversée qui, pour lui, est un vecteur d’égalité, d’accessibilité, où pour lui les enjeux liés à l’exercice et l’activité sont importants et doivent se faire en classe. Il a donc catégorisé la trace écrite comme étant un enjeu bassement cognitif car, ici, la trace écrite est liée à un recopiage.

Ici, donc le choix n’existe pas, donc pas d’autonomie, même si les élèves font la chose « seul & sans aide ». L’idée n’est pas de clouter au pilori Olivier QUINET car sa démarche de classe inversée est démentielle, juste de préciser qu’ici sa focale n’est pas de rendre l’élève autonome, mais plutôt de se libérer du temps classe pour que les élèves fassent de activités où sa présence comme soutien est primordial.

En fait, faire de classe inversée ne présuppose pas forcément de rendre l’élève autonome, juste de changer sa manière de faire pour avoir du temps avec eux en classe sur des tâches hautement cognitives qui nécessitent de l’aide ponctuellement de l’enseignant.

Par contre, je reste persuadé que le travail à la maison peut être un moment de tâches hautement cognitives, suffisamment accessibles : prendre le temps pour prendre du recul sur ses connaissances :

  • Qu’est-ce que j’ai besoin d’écrire du cours? (ie qu’est-ce que je ne sais pas)
  • Comment l’écrire de manière simple (forme : carte mentale, exemple appliqué…)

Cela revient à engager un processus réflexif sur soi et ce moment, on peut l’avoir aussi en classe sur un temps court et donc de manière répété mais aussi sur un temps long chez soi.

Cette fameuse trace de cours peut « vivre » en classe et chez soi. (Tiens cet exercice qu’on est en train de faire est un bon exemple, j’écris sa correction directement dans ma fiche, je ne connais pas l’hypoténuse, je place sa définition rapidement à l’aide d’un schéma sur la fiche etc.)

Bref, l’idée de fond dans cette réflexion, c’est qu’on ne donne peut-être pas assez le choix, laisser le choix pour développer l’autonomie.

Le plan de travail

D’ailleurs on en vient au plan de travail. Pour ceux qui ne savent pas, un plan de travail est une sorte de parcours intégral ou non à choix. L’élève doit aller d’un point A à un point B sur une chemin plus ou moins long.

Alors ici, le choix est relatif car cantonné au parcours et au choix du professeur donc l’élève n’est pas autonome. Il agit seul mais reste dépendant de ce document qu’est le plan de travail.

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Mais le plan de travail reste un type de classe inversée tout-à-fait viable pour moi (j’en fais d’ailleurs) car il permet de se dégager du temps pour se consacrer sur des élèves en difficultés, on nourrit les plus forts. Ici la focale pour la classe inversée est la gestion de l’hétérogénéité de rythme. On peut aussi responsabiliser les élèves comme certains qui peuvent devenir tuteurs sur certaines notions, ce qui permet une régulation des difficultés rencontrés par certains élèves de manière efficace.

L’enseignant change également de posture et ne se place plus comme le maître du temps. On laisse un choix relatif quant à s’attarder plus ou moins dans certaines notions de manière plus appuyées, mais l’action reste balisée.

Un collègue et ami me faisait la remarque que c’était pour lui un travail sur l’autonomie en prenant l’image d’un enfant à qui on dit d’aller se brosser les dents et puis se mettre en pyjama, il faut leur dire pour qu’ils y pensent, ils deviendront « autonomes » lorsque cette routine n’aurait plus besoin d’être explicitée.

Alors le gros travers ici, c’est qu’on parle d’une action répétée qui ne peut pas varier, c’est donc un apprentissage basique d’une succession d’actions et qui ne laisse la place à aucun choix, aucune réflexion. Donc non ici l’enfant devient-il autonome? Se pose-t-il des questions sur ce qu’il fait? Rien est moins sûr car la tâche reste basique et doit faire l’objet d’un rappel, la charge mentale est toujours possédée par l’adulte.

L’autonomie en effet repose pour moi sur des actions complexes ou des tâches complexes à résoudre. Il faut que l’enfant se questionne pour qu’on puisse percevoir la capacité de l’élève d’être autonome, il doit avoir la charge mentale du problème.

Pour conclure ma réflexion : Un élève ne deviendra autonome que :

  • si on lui laisse la place pour l’être.
  • si on accepte de lâcher prise sur les moyens mis en oeuvre par l’élève
  • si ce qu’on lui demande lui demande de la réflexion (un réel questionnement réflexif)
  • s’il se sent en confiance.
  • s’il a le choix des moyens

La conception d’un trace écrite personnalisée répond pour moi à tout ces critères, comme le travail de groupe autour de tâche complexe.

Le plan de travail, du moins dans la perception que j’en ai, me semble plutôt axé sur une différenciation de rythme et de contenu qui permet d’adapter les difficultés auprès des élèves afin qu’ils progressent mais je ne suis pas sûr du travail autour de l’autonomie.

Toutefois cela reste pour l’instant le fruit de ma réflexion, réflexion qui a évolué et qui évoluera sans nul doute!

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« Autonomie » et Classe Inversée ?

Alors je présente juste une réflexion en l’état.

On parle souvent d’autonomie quand on parle de Classe Inversée, et là j’ai eu quelques discordances sur la signification de cette autonomie. La signification de ce mot est sans doute galvaudé.

Contextualisation, je prépare une formation sur la CI et force est de constater que le plan de travail est un appui certain pour rendre l’élève « autonome« . On chercherait à rendre l’élève « autonome« .

Et là je m’interroge, le rend-on réellement autonome?

Les plans de travail

Alors d’abord pour les non-aficionados je vais présenter (un peu à la hache) ce que sont les plans de travail.

Les plans de travail sont des sortes de parcours que l’élève choisis de faire en fonction des choix qui lui sont proposés.A travers ces parcours, l’élève a accès à des ressources qui lui sont proposées et aussi des exercices qui permet de confronter les notions rencontrées.Le but de ces parcours est souvent de répondre à une problématique plus grande qui est l’amorce de ce parcours : Tâche complexe ou autre.

J’en ai proposé un il y a quelques temps, où se mélange ressources et exercices (l’amorce étant une vidéo extrait d’APPOLO 13). Je le remets :

Alors oui, ici l’élève ne dépend plus du professeur, d’ailleurs c’est un dispositif qui pour moi sert principalement à cela, le professeur n’est plus tributaire du rythme classe , chaque élève avance à son rythme (différenciation). Le professeur ainsi libéré peut venir en soutien pour les élèves en difficulté. La différenciation de rythme permet à ce que les élèves ne soient pas sous pression. L’élève est capable de s’autoévaluer sur ce qu’il sait faire (échelle descriptive et indication dans les parcours des niveaux)

Et puis….

Et puis la phrase « Puisque l’élève avance seul à son rythme, l’élève est autonome » est lancée. Boum!

Une autonomie?

Aie! Aie ! Je vais répondre direct : NON, l’élève ici n’est pas du tout autonome! Pire il l’est moins.

L’autonomie, ce sont les ressources personnelles (comportementale ou de connaissance) que l’élève possède qui lui permette d’être indépendant face à une problématique.

Donc autrement dit, l’autonomie se travaille sur des situations qui nécessitent des choix, des prises d’initiatives. « C’est en forgeant qu’on devient forgeron ».

C’est d’ailleurs tout l’objectif des tâches complexes qu’on a développé avec Ju’ : « Les problèmes DUDU » certains très simple (pour s’approprier le nouveau média, réfléchir sur une vidéo est plus complexe que sur du papier) et d’autres plus difficile (où il faut faire des choix, chercher des info manquantes etc..). Là, les élèves osent, cherchent, trouvent des stratégies et là ils sont seuls dans leurs choix. Rien n’empêche qu’ils viennent voir l’enseignant, car ce dernier devient ressource ou soutien.

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Revenons sur les plan de travail, ici tout est guidé. L’élève ne se pose pas de questions, on les lui pose, les choix sont fléchés. Oui, il peut choisir de faire plus ou moins d’exercices à chaque étape, tout le reste, il n’y a aucune autonomie. L’élève ne peut pas être autonome puisqu’il doit suivre le parcours, plus ou moins vite, mais le chemin reste le même.

Revenons sur mon parcours, oui certains se sont arrogé le droit de ne pas faire d’exercices sur les produits en croix… Mais dans leur tête ils sont passés par la case « produit en croix ».

Donc ici l’élève est tributaire d’un parcours , chemin de réflexion, de ressources (ce sont les miennes et nulle autre), d’ordre des exercices …

Alors on pourrait dire que c’est difficile de ne pas flécher, oui, je suis d’accord, en fait on ne peut faire autrement, ou du moins , je pense que ce serait difficile.

Mais ici est-ce le but réel que de rendre autonome l’élève? Évidemment Non !

On souhaite juste que l’élève dépende du document et non du professeur en tant qu’homme. Car il dépend encore de l’enseignant à travers le document. C’est toujours le professeur qui le guide à travers le parcours qu’il a construit.

Trimay / PARCOURS

Par contre, on change ici le statut non pas de l’élève mais de l’enseignant, il n’interagit plus directement avec l’élève mais à travers le document, il est libéré pour aider les élèves difficultés. Et ce document permet aux élèves de progresser seul ( tout en étant dépendant du document) , chez eux les élèves progressent autant qu’ils le veulent.

Bref : Faire seul ne veut pas dire être autonome.

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Et si je vous disais que la notion de réciproque du théorème de Pythagore n’a pas de sens ? Et si les « erreurs » des élèves étaient …justifiées ?

Bon je vais jeter un petit pavé dans la mare…

Rétrospective, Réforme 2016, on ôte le terme de « réciproque » du théorème de Pythagore, j’étais colère, car je voyais beaucoup de cohérence avec la séquence sur les droites des milieux, sur le travail de notion d’implication et réciproque.

Puis on fait avec, je parle d’égalité de Pythagore vérifiée ou non. Puis 2019 on réinsère le terme de réciproque pour Pythagore…. Grrrrrrr

Mais là je n’y trouve plus de cohérence.

C’est pas nouveau avec Ju’ on est sur un projet de rétablir des démonstrations, et donc on a fait un travail de construction des notions les unes par rapport aux autres.

Bref, donc on a fait un petit travail sur Pythagore (qui n’est pas encore fini avec des Guests de malade), et là on a commencé à réfléchir à la réciproque de ce théorème.

Comment la démontrer?

Quand on y réfléchit, c’est simple ! La réciproque se démontre avec le théorème direct ! Si si! Et d’ailleurs c’est sans doute naturellement que les élèves le font sur les cas qu’on leurs propose.

On essaie ?

On démarre donc par un triangle ABC , qui vérifie l’égalité de Pythagore.

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On va créer un autre triangle A’B’C’, cette fois-ci rectangle, qui possède 2 côtés de même longueur que le premier triangle. On sélectionne les côtés les plus petits.

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Comme le triangle A’B’C’ est rectangle, je peux donc appliquer le théorème de Pythagore.

J’obtiens donc B’C’²=a²+b², d’où B’C’²=c². Comme B’C’ est une longueur positive, B’C’=c.

On vient donc de montrer que les triangle A’B’C’ et ABC sont égaux, en effet ils ont leurs côtés égaux deux à deux.

Comme ce sont des triangles égaux, ils possèdent également des angles deux à deux égaux, donc ABC est rectangle.

Voilà donc en utilisant les propriétés des triangles égaux, on peut « démontrer » la réciproque du théorème de Pythagore avec le théorème de Pythagore.

Revenons sur un exemple de rédaction élève « mauvaise »

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Sur cette démonstration, on peut comprendre que l’élève sous-entend maladroitement l’utilisation des triangles égaux, en testant si on obtient les 3 mêmes côtés.

Donc ici, il n’y aurait pas de problème de raisonnement, sans doute un problème de communication car il ne préciserait pas qu’il utilise la propriété des triangles égaux.

Que faire de ça? Et bien je ne sais pas trop, le mot doit être évoqué, est-ce logique? Parle-t-on de réciproque du théorème de Pythagore au lycée ?

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Plan de travail sur Thalès et classe inversée…

Bon allez zoup!

On se lance à diffuser mes productions. Je commence à avoir un document et une démarche qui me paraît claire en regard à ce que je pense être la classe inversée.

Comme je dirais, l’idée est de rendre actifs les élèves et actifs scolairement parlant, l’élève doit être dans l’apprentissage et la consolidation des apprentissages.

Bref, j’ai donc concocté un plan de travail connecté au & déconnecté du numérique. L’idée étant de cibler les ressources à disposition pour l’élève qu’elles soient issues du livret qu’ils possèdent ou par vidéo (plus simple pour se réapproprier des notions).

Le modus operandi est assez simple.

L’accroche est cette vidéo :

L’idée est de susciter un manque de connaissances -> nous les matheux, en fait, on sait faire.

On découvre à l’aide d’une animation (géogébra) que les côtés des deux triangles emboîtés ont des longueurs proportionnelles et on dégage les conditions pour que cela ait lieu. (on a un simulacre de théorème de Thalès, je n’attends pas de rédaction type pour l’instant)

Ensuite, le lien rapide tableau proportionnel et rapport égaux est rappelé (déjà vu).

Et là on lâche les lions qui vont avancer à leur rythme sur ce plan de travail que je vais leur distribuer (en recto verso). Mon frangin m’a suggéré de l’imprimer en A3 pour ensuite y glisser les fiches exercices associées. (Je le ferais pas, mais l’idée peut être rigolote)

Bien entendu, je vais faire la démarche auprès de mon principal sur l’autorisation de l’utilisation du téléphone portable en classe.

Ensuite, les fiches d’exercices associées sont là :

Ils devront toutefois indiquer par une croix verte, l’exercice réussi et rouge celui raté sur leur plan de travail

Je ne donnerai pas de corrigé, je compte pour cela responsabiliser les élèves, et dès qu’un élève pense avoir réussi un exercice et que je le valide, sa feuille est subtilisée et mise sur mon bureau pour que les autres élèves puissent comparer et avoir accès à cette correction.

-> l’idée est que l’enseignant ne soit plus celui qui sait.La classe inversée, c’est cela, le prof n’est plus le puits de savoir, celui qui valide etc.

Je compte prendre en photo aussi la dite correction afin d’avoir une correction « de la classe » à mettre sur l’ENT.

J’ai identifié dans le parcours les niveaux débutants, confirmé expert donc en terme d’autoévaluation, ils auront une idée précise d’où ils en sont.

Également, je compte donner à la fin de chaque cours, un petit exercice de Thalès qui n’est pas issu du plan de Travail, afin qu’au début de la séance, je puisse avoir un moment collectif (qui permette les échanges entre pairs global)

Aussi si je perçois des faiblesses pour des élèves, je m’autoriserai de demander aux élèves qui sont à tel point du parcours de s’arrêter et d’aller aider les élèves qui lèvent la main. Cela permettra également de créer des tutorats temporaires.

-> le prof devient régulateur des relations d’entraide.

Il faut maintenant que je m’attelle à la rédaction d’un « contrat de fonctionnement pour ces séances à venir ».

En croisant les doigts pour que mon chef continue d’accepter l’autorisation du téléphone portable.

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L’appropriation d’une notion dans la compétence calculer

Bonjour à tous.

Bon voilà, je vais présenter un peu ma réflexion qui s’appuie en partie des échanges lors de formation et de groupe de réflexion.

La compétence « calculer » est complexe à mettre en œuvre au collège, il faut une base solide d’apprentissage pour acquérir une nouvelle notion et on a parfois tendance à aller vite (moi le premier).

L’acquisition d’une nouvelle notion se fait en 3 phases.

  1. Appropriation du sens et lien avec les notions déjà acquises.
  2. Phase procédurale
  3. Automatisation

Ces 3 phases sont importantes, et on a tendance à négliger ou plutôt passer rapidement sur la première phase, à peine le sens de la notion compris, on file sur la procédure, et là malheureusement peu de lien entre les deux sont faits.

Pour éclairer mon propos, je vais revenir sur la distributivité.

Cette notion est à acquérir au cycle 4 (vocabulaire développer ) et est à voir dès la 6eme au cycle 3 avec les astuces de calcul (distributivité sur des expressions numérique du genre 6 \times 15=6 \times 10+6 \times 5 ).

Généralement, les astuces de calcul sont comprises assez rapidement en 6eme, en revenant au sens de la multiplication, comme répétition de l’addition.

Au cycle 4, l’extension se fait du point de vue littéral et avec également des facteurs non entier. Ici, l’argument de la répétition ne tient plus forcément.

Alors d’autres processus plus ou moins complexes existent pour expliquer ou illustrer la distributivité, ce qu’on appellerait des preuves visuelles (ou aussi des représentations). Pas vraiment rigoureuses, mais suffisantes pour que les élèves comprennent cette notion avec des éléments qui leurs parlent. L’idée étant de faire du lien avec des connaissances personnelles qu’ils possèdent.

Donner une seule illustration de la distributivité n’est donc en soi pas assez suffisant, l’idée est d’en proposer des plurielles, puisque chaque élève a un vécu, des appétences uniques.

J’avais d’ailleurs une vidéo dessus recensant ces images mentales.

Bref, ces images font sens et permettent d’ « expliquer » ce qu’est la distributivité. (même si ici, il n’y a pas de preuve à proprement parler puisque la distributivité est intrinsèque au corps, mais je souhaite me servir de ma vidéo, donc là, on a plus des images mentales et des représentations.)

Enfin de je termine ensuite par une astuce pour développer, c’est ce que j’appelle la « procédure« , ou plutôt la démarche procédurale.

La vidéo :

Ici, le sens se perd un peu plus (les flèches, le facteur qu’on distribue), mais la procédure permet d’alléger la réflexion, de transformer le processus réflexif lié au sens vers un processus mécanique. C’est important car pour aborder un problème mathématique, il faut avoir l’esprit qui ne s’empêtre pas dans la réflexion calculatoire.

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Ensuite, vient la phase de l’automatisation, où là l’esprit n’est plus accaparé par le calcul.

On n’a tendance à donner rapidement la procédure sans s’attarder suffisamment sur le sens. Cela génère des erreurs, il faut donc rappeler les images mentales qui font sens pour que l’élève comprenne son erreur. L’intérêt donc des images mentales est de vérifier la cohérence de ce que l’on fait a priori et a posteriori.

C’est un peu comme l’apprentissage des tables de multiplication, des élèves parfois compte sur leurs doigts reprenant le processus itératif de l’addition, ils ont compris la notion de multiplication, mais perdent de l’énergie dans ce processus et ne peuvent ainsi que trop difficilement aborder un problème mathématique.Le fait de connaître les tables permet d’aller plus vite, mais il ne faut pas perdre le sens, ce qui permet de se corriger.

Vous avez parlé du tableau de conversion?

J’aimerai revenir sur un autre écueil qui est celui du fameux tableau de conversion (surtout celui des aires). Cet outil est clivant. Des profs « pour », d’autres « contre », d’autres un peu des deux.

Tiens, j’en ai un pour vous : https://mathix.org/conversion/index.html

Les documents d’accompagnement sont assez explicites dessus, les élèves doivent le voir, mais ce ne doit pas être le canal principal pour expliquer la conversion d’aire (ou même longueur ou quoique ce soit d’autre).

1)On doit reprendre le processus suivant pour convertir 2,4cm² en m² :

A=2,4 cm ^2

Par une petite astuce de calcul

A=2,4 \times 1cm^2

Par définition de l’unité 1cm², c’est l’aire d’un carré de côté 1 cm.

A=2,4 \times 1cm \times 1cm

par définition des grandeurs simples : 1 centimètre est un centième de mètre.

A=2,4 \times 0,01m \times 0,01m

Astuce de calcul

A=2,4 \times 0,01 \times 1m \times 0,01 \times 1m

On réordonne et on calcule, on peut utiliser le glisse nombre pour la multiplication par 0,01 , les unités deviennent des centièmes :

A=0,024 \times 0,01 \times 1m \times 1m

A=0,00024 \times 1m \times 1m

Par définition du m² , c’est l’aire d’un carré de côté 1 m

A=0,00024 \times 1m^2

A=0,00024 m^2

Voilà donc là de manière sensée, on est passé par la notion des grandeurs simples.

2) On pourrait également donner l’image mentale que dans un carré de 1m, il y a 100 carrés de côté 1dm et dans un carré de 1dm, il y a 100 carrés de côté 1cm. Ce qui fait 100 \times 100 carrés de 1cm de côté dans un carré de 1 m de côté, soit 10 000 carrés.

Donc 1 cm² est 1 \over 10000eme de m² et on peut passer à la conversion par le glisse nombre par exemple : « Il faut 10 000 cm² pour faire 1m² donc on divise par 10000, les unités sont 10 000 fois moins fortes »

3) Ou sinon, et bien on adapte l’outil du tableau de conversion, on le construit avec les élèves, et on explique la démarche.

Certes l’outil fait perdre du sens , mais il permet aussi d’aller vite, de pouvoir se concentrer sur le problème mathématique.

Rien n’empêche de faire les deux, pourvu que les élèves puissent se reprendre avec les images mentales fortes des carrés.

De plus cet outil doit être vu et expliqué, les parents d’élèves eux, l’ont vu et ont tendance à l’utiliser. Il faut donc préparer les élèves à des outils qui n’ont pas de sens, et essayer de leur en donner en le construisant avec eux.

Le tableau de conversion a donc pour moi parfaitement sa place au sein des apprentissages et ne doit pas être renié.

À-propos :

Bon c’est une réflexion et mon avis aujourd’hui, rien ne m’empêchera de changer d’avis. Je sais que Claire Lommé, pour en avoir parlé avec elle, fera peut-être une réponse à cette réflexion.

Moi, j’aime bien Claire (je crois que c’est réciproque), on n’est pas tout le temps d’accord, mais on ne s’est jamais méprisé, elle a toujours su rester constructif tout comme j’ai essayé de l’être. Et puis chacun évolue, on a des opinions, et c’est le fait d’échanger qui nous fait évoluer. La critique doit permettre une réflexion et non assouvir du mépris.

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