Edit de l’article : En faisant ce premier jet sans trop de lecture de recherche, disons plutôt une réflexion naïve du sujet, (prémisse avant une vraie recherche, il s’agit de se forger une hypothèse sur la problématique, celle que j’expose dans l’article avant un étayage de ces hypothèses par des lectures. Avoir une problématique et des hypothèses de travail est important avant de chercher)?
Il semble que j’ai peut-être commis des erreurs notamment sur la différenciation entre 3×4 et 4 multiplié par 3 et donc peut-être inversé le multiplicande et multiplicateur, je laisse par soucis d’honnêteté l’article tel quel, le fond n’en reste pas moins le même , voir la multiplication comme une action et comprendre ce que cela induit en terme de perception de l’unité voir même de la distributivité et des statuts des nombres.

Bonjour à toutes et tous.

Avec quelques formateurs, on s’est penché sur la question de multiplication, de la proportionnalité au collège. Un gros chantier … pour une formation qui peut être intéressante !

Bref, je suis parti sur la multiplication en tant que telle avec son vocabulaire et sa signification.

Je vais donc commencer par enfoncer des portes ouvertes… Le tout est de savoir si ce sont des bonnes portes à travers des phrases que l’on peut dire.

« La multiplication est une répétition de l’addition. »

En somme : 3 × 4 = 4+4+4.

Cette phrase je l’utilise souvent, elle permet de parler des nombres rectangulaires et explique ainsi rapidement la commutativité de cette opération. J’ai même une petite animation pour ça (https://mathix.org/nombres-rectangulaires/)

3 ×4 = 4 × 3

Mais que signifie alors \( 4 \times {3\over 8} \) ?

On dirait sans problème \( 4 \times {3 \over 8}= {3 \over 8}+{3 \over 8}+{3 \over 8}+{3 \over 8} \).

Mais alors que signifie \({3 \over 8} \times 4 \) ?

On pourrait utiliser la commutativité, mais logiquement parlant on n’a rien encore démontré. (seule la représentation des nombres rectangulaires avec des nombres entiers le permet)

« 3 fois 4 ou 3 multiplié par 4 c’est pareil »

Alors non, 3 × 4, on considère souvent que le nombre 4 est répété 3 fois, d’où le « 3 fois 4 », alors que dans 3 multiplié par 4, c’est 3 qui est répété 4 fois.

« 3 × 4 se lit donc 3 multiplié par 4 et 4 fois 3 ! » Mazette!

« Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre. »

\( {3 \over 8} \times 4 \) donc un sens, cette opération est vue comme « prendre les \( {3 \over 8}\) de 4 ».

Alors on peut revenir à cette animation que j’utilise souvent :

https://mathix.org/de_vers_x

Mais quel lien faire avec la répétition? C’est un peu là où le bât blesse !

et puis concrètement ce qu’on voit c’est \(({3 \over 8} \times 1) \times 6 \) .

« La multiplication peut-être vue comme une quantité de … »

Ce point de vue me semble le plus efficace et permet de pointer l’évolution du vocabulaire moderne!

Dans 4 × 3, 4 est la quantité de 3, effectivement il y en a bien 4!

Dans \( {3 \over 8} \times 4 \) , \( {3 \over 8} \) est la quantité de 4, effectivement on a bien les \( {3 \over 8} \) de 4.

Il semble ici que cela soit cohérent.

Le vocabulaire

Mais cette phrase a un sens plus profond qui construit la multiplication autrement.

En effet dans toutes nos phrases et surtout la dernière, les deux nombres n’ont pas le même statut. Le premier agit sur le second.

D’ailleurs Il fût un temps pas si lointain, on parlait de multiplicande et de multiplicateur à l’instar de dividende et diviseur.

Le multiplicateur ‘agit’ sur le multiplicande.

Cela suggère aussi que le multiplicateur n’a pas d’unité simple. (on pourrait lui mettre une unité quotient ou aucune unité)

En fait, l’écueil pour les élèves vient du fait que pour l’addition et la soustraction, les nombres sont de même nature alors que pour la division ou la multiplication, ce n’est pas le cas.

Petites parenthèses : seul bémol avec les calculs d’aires?… que dire de 3cm×4cm ?

On peut voir cela comme 3×1cm×4×1cm=3×4×1cm×1cm et la définition de 1cm² est le résultat de ce produit 1cm×1cm.

Mais même en faisant cet artifice, on sent que c’est bancal, on utilise la commutativité, c’est pour cela que je ne suis pas super fan de l’unité dans les formules (même si on peut vérifier l’homogénéité des unités, c’est pratique mais peut-être à voir plus tard avec les élèves).

Si on revient à la définition du cm² ce sont des surfaces équivalentes à des carrés de côté 1cm, dans ce cas je compte le nombre de carrés donné par 3 lignes de 4 carrés, 3 × 4carrés (on retrouve un nombre neutre et un nombre avec unité)

Donc si on repensait la multiplication comme une action de proportionnalité sur un nombre réellement, l’un agit sur l’autre?

Si on parlait exclusivement de « quantité de  » et là je reprendrais allègrement une activité de l’IREM de Lyon sur le découpage de bandes que j’avais repris il y a quelques années pour en faire une générateur de feuille d’exercice et également une animation.

https://mathix.org/decibande

Cette activité se fait en deux étapes (2 séances)!

On apprends à créer les nombres à partir de l’unité (en pliant si besoin la bande unité)

Et puis une fois nos bandes faites, on peut attaquer le produit.

Ci-dessous, je construis une quantité de 0,5 qui est 2,5, soit 2,5 fois 0,5.

Je construis donc le double de 0,5 puis la moitié de 0,5 car \(2+{1 \over 2} =2,5 \)

Le nombre action prend tout son sens, on agit en pliant.