Catégorie : Réflexions

L’introduction de la lettre : la ligne brisée.

Salut à tous!

Bon je reviens d’une formation sur le calcul et la résolution de problème où j’ai pu revoir avec plaisir des camarades de l’université (super content de t’avoir revu Laorans). 🙂 Une belle journée!

Allez, zoup ce soir, je m’essaye à proposer ma manière d’introduire la lettre au cycle 4 de manière efficace.

J’introduis en douceur cette notion sur du long terme (dès septembre pour commencer réellement en février), je ne l’intègre pas dans un « chapitre », disons que je commence la séquence officiellement au moment où tout est déjà fait.

Je pose, en quelques sortes, mes petites graines lors de l’activité mentale de début d’heure (que je fais à tous les cours).

L’idée est de partir sur la ligne brisée (un dessin rapide) et on demande la longueur de cette ligne.

Alors généralement mon premier dessin au tableau ressemble à celui-ci.

En fait, je le fais à l’arrache mais du même type, je pense que de ne pas le préparer réellement, l’élève se dit que ça va être simple car sinon le prof l’aurait fait proprement… je vous jure que l’impression est différente.

La première fois, il y a un vrai blocage (lié au blanc) il y aura des contestataires, des gentils qui diront que c’est incomplet ou que c’est impossible ou ceux qui pensent trouver une solution proposent 13 ou 5+6+2.

Alors là, c’est le moment de les taquiner : « Ah bon? Rien ne vous gêne?« .

« Bah si, on connaît pas tout, c’est impossible en fait!« 

A vous de répondre que même la mémé du coin (moi j’aime bien la mémé de Loué, elle est rigolote) elle sait exprimer la longueur de cette ligne brisée, car elle la décrit simplement.

Si personne ne propose un truc satisfaisant pas grave, on imite la mémé (côté théâtral pour marquer les esprits, ça aide)

« Vind’iou , ça fait : un truc + 13 !! »

La réaction des élèves sera immédiate : « Ah d’accord, bah on savait pas qu’on pouvait etc… » . À ce moment là, il faut les autoriser à faire ce qu’ils veulent, leur dire d’oser… et proposer d’autre expression pour désigner l’espace vide « truc » « machin » « bidule »… puis passer à autre chose, notamment le cours que vous aviez prévu (sur une autre notion). On laisse digérer cette information.

Le cours d’après (on a laissé mariner cette découverte), on propose un autre dessin :

Ici, on aura les erreurs du type : « 2 trucs +12 »

Des élèves devraient remarquer qu’il n’y a pas de codage donc de proposer une autre expression « truc + machin +12« . Un vrai débat peut s’installer, super riche.

Ensuite, d’autres dessins en vrac pour progresser sur la modélisation d’une longueur avec des inconnues. Il s’agit d’en faire plusieurs fois sur du long terme.

On aura des réponses du type :

  • truc+4+truc+machin+6
  • truc+truc+machin+10
  • 2 trucs+ machin +10

Il suffira d ‘entourer que :
truc +truc = 2 trucs

On teste leur imagination pour nommer des inconnues différentes, ça va coincer, comment faire autrement? La lettre comme outil rapide truc devient t, machin m, bidule b et donc il reste plein d’autres lettres.

On peut également travailler sur la réduction de somme car on peut attendre deux types de réponses :

  • 2+3+x+x+x+y+y
  • 5+3x+2y

La distributivité, on la reconnaît non?

Ici, on peut attendre 4(3x+5) ou 12x+20

On peut également recontextualiser à posteriori sur les erreurs du type :

4x+2=6x

Bref, la ligne brisée permet de visualiser rapidement des manipulations avec le calcul littéral. Elle permet visuellement de déconstruire des erreurs et rapidement corriger le tir.

Toutefois, elle ne permet pas tout, comme on ne peut pas arriver à gérer la multiplication (sauf avec un scalaire), mais pour débuter sur le calcul littéral (dans le sens manipulation et modélisation) c’est sympa, non?

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Le statut du signe =, l’égalité des produits en croix, un exerciseur…

Cette année, j’ai changé ma progression en 4eme pour coller à un EPI. Au lieu de commencer gentiment par les relatifs, pif paf pouf, on commence par la proportionnalité.

Bigre, en fait, la proportionnalité avant je la préparais, j’anticipais l’analyse des situations de proportionnalité, la préparation au nouveau statut du signe ‘=’ (via mes questions flash de début d’heure). Sauf que là, la préparation n’a pu avoir lieu, il fallait que l’EPI (avec le sport sur la VMA) colle aux séances d’EPS.

J’ai largement sous-estimé cette impréparation pour le nouveau statut du signe ‘=’. Comme quoi, quand on s’enfonce dans une routine, on a tendance à oublier les écueils rencontrés.

I.Un constat.

Là, je me suis trouvé confronté à plusieurs problèmes :

  • le statut du signe égal incompris (le fait de transformer une égalité)
  • ce que signifie l’égalité des produits en croix (parents, prof de physique vont souvent à contre sens)
  • l’aversion à la rédaction

Bref,pour ces deux derniers points, j’en avais toujours conscience, d’ailleurs ça prend plus ou moins de temps avec les élèves, je reste inflexible, j’argumente et ça passe.

Par contre, pour ce signe égal… Le passage entre ces deux lignes n’est pas aussi évident et se faisant, la pression donnée par l’EPI (où il fallait passer par là), il fallait l’utiliser forcément sous peine de légitimer une rédaction bancale ( afin d’éviter ce genre de propos » Ouais avant on faisait ça en EPI, pourquoi plus maintenant?« ) :

 4 \times 5=3 \times x \newline   20=3 \times x \newline   {20 \over 3}=x ou x={20 \over 3}

Au lieu de cela je me suis trouvé confronté à ce genre de rédaction:

 4 \times 5=3 \times x \newline   4 \times 5=20 \newline   20:3={20 \over 3} \newline   x={20 \over 3}

Ici, on se rend compte que la position du signe égal est en faveur du calcul, de la simple opération.

Alors bien entendu, c’est un travail de longue haleine par lequel je reviendrai avec Pythagore, Thalès et les équations. Mais d’avoir autant d’opposition dès le début, j’ai oublié qu’avant insidieusement et quasi-inconsciemment, je le préparais.

D’ailleurs en commençant le théorème de Pythagore, j’ai, pour une classe rapidement, donné un exemple d’utilisation (et de rédaction), un élève est venu me voir en disant que c’était comme l’égalité des produits en croix (Merci Noam!). Au début, je n’ai pas compris son allusion.

En fait, il parlait de la rédaction, le fait de transformer l’égalité. Bref, il avait compris mais n’avait pas su le verbaliser.

Sinon j’ai eu ce genre de rédaction

 x = {{4 \times 5} \over 3} \newline   x={20 \over 3}

Ici, on est sur l’ordre de l’astuce, du ‘truc’ qu’on comprend pas trop, mais ça marche.

On évite soigneusement tout le travail sur l’égalité, c’est aussi pour cela que je m’y oppose fermement. Car sinon, on reporte ce problème sur le théorème de Pythagore où on aura d’autres problèmes à gérer…

II. Quid de ce constat?

Alors, je me suis demandé comment j’allais raccrocher les wagons avec ceux où cela ne faisait pas sens.

Je me suis rappelé d’un propos d’une formatrice (Pascal Boulais, il y a… 10 ans… oui, je sais…), parfois le sens peut venir après le contrôle mécanique de la notion. C’est-à-dire qu’un élève peut très bien maîtriser une rédaction ou un concept et comprendre le sens seulement après utilisations. Cela ne doit pas poser de problème car les élèves ne sont pas forcément tous prêts à prendre du recul sur ce qu’ils font.

Elle faisait le lien avec les fameux « déclics » que des élèves souvent en 4e ont : « Ah mais ouiiiiii, ca y est je comprends, vous expliquer mieux que Machin l’an dernier » (alors qu’en fait, tout simplement, il n’avait pas le recul nécessaire).

(D’ailleurs serait-ce un déclic de ma part par rapport à cette phrase? 😉 )

Donc, fort de cette analyse (bonne ou mauvaise), j’ai conçu un exerciseur pour « forcer » à travailler cette rédaction liée à la transformation des égalités (sur la notion des produits en croix).

Bon, il analyse plutôt bien. Il est encore tatillons sur certaines rédactions, car c’est dur d’être exhaustif.

Il accepte toutefois plusieurs rédactions (allant cette à 4 étapes, 3 étapes, voir deux étapes et il te dit gentiment que c’est court quand tu utilises directement x=a*c/d )

Il s’agit d’une première version. Il est possible que j’implémente la possibilité de passer par le coefficient de proportionnalité ou l’addition soustraction des colonnes.

Ça se passe par là :

https://www.mathix.org/produits_en_croix/

 

Il suffira de mettre ce code sur votre site pour l’intégrer :
<iframe src="https://mathix.org/produits_en_croix" width="934px" height="555px"></iframe>

Maintenant y a plus qu’à tester!

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Mutualisons, partageons et régalons-nous!

L’épilogue d’un début d’une chouette aventure qui démarre enfin!!

Alors pour un rattrapage sur l’histoire, tout démarre chez Claire Lommé une super warrior de collègue de Maths, elle s’est mise en relation avec une centaine de collègues et s’est mise à partager ses ressources, les collègues en ont fait autant, bref, une super banque de ressources à disposition.

J’ai demandé à en faire partie, bah vi quand même c’est chouette, et puis vient la mise en ligne de mes ressources dans son google drive, sauf qu’il est au bord de la saturation et avec des vidéos ça ne l’aurait pas du tout fait….

Je lui propose de passer sur mon serveur, elle accepte, je transfère les 4 Go de données. Et puis je me rends compte que des ressources sont des scans de livre scolaire, donc on a monté une petite équipe de fou-furieux pour trier tout ça :

Claire Lommé, Claude Fey, Joan Riguet, Mickaël Noel et Richard Cauche.

Des noms que vous reconnaîtrez, car certains ont déjà partagé des ressources ici. 🙂

Bref, après 3 jours de tri intensifs, à se tirer les cheveux, à se faire des blagues, à citer Kaamelott, les tontons flingueurs, l’ensemble est organisé.

Donc comment ça marche tout ça?

Il faut aller ici, pour accéder aux ressources

Si vous voyez des ressources qui ne devraient pas y être, (problème de droit d’auteur) c’est qu’elles sont passées au travers de notre tri, merci de nous le dire, on l’enlèvera de suite.

Bref, régalez-vous!!

Et si vous souhaitez donner votre pierre à l’édifice, c’est simple. Il faut le déposer sur le DEPOT.

C’est par ici que ça se passe.

On triera ensuite pour le mettre dans l’espace PUBLIC. On souhaite éviter les fausses manip’ c’est pour ça que vous en pourrez pas les mettre directement dans le dépôt PUBLIC.

Vous retrouverez les accès sur la gauche!

En tout cas, merci à l’équipe de fous!

Claire Lommé, Claude Fey, Joan Riguet, Mickaël Noel et Richard Cauche.

Merci encore Claire pour ta confiance!

 

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