22 juillet 2014

Le problème de la course du chien

Par

220px-Aurelio_PIzzaEn mathématiques, on aime bien les problèmes et inventer des farfelus mais qui soulèvent étrangement énormément de questions.

D’ailleurs l’exemple qui me vient à l’esprit est celui du « théorème de la pizza » qui la résultante d’un défi lancé par un magazine au milieu du XXe siècle qui était de démontrer qu’une pizza coupée en 8 pouvait être équitablement partagée entre deux personnes. Des solutions ont été apportées et d’autres ont suivi beaucoup plus générales et intéressante.

Mais ici, on ne va pas parler de pizza mais de chiens.chien

Imaginons, un chien A qui veut rejoindre  son maître qui lui suit une trajectoire bien connue, On pourrait se poser les questions :

Quelle est alors la trajectoire du chien ? Où se rejoignent-ils?

C’est la théorie de la course du chien.

Bien entendu, il existe des variantes avec plusieurs chiens:

Imaginons, un chien A qui veut rejoindre  un chien B qui veut rejoindre un chien C qui veut rejoindre le chien A, quelles sont alors leurs trajectoires et où se rejoignent-ils?

Pour 3 chiens, le problème a été résolu, en effet les chiens se rejoignent à l’un des deux points dits de Brocard. Je ne m’étendrais pas sur ce fameux point (voir wikipédia).

Ici j’ai fait un petit programme de simulation pour 4 chiens (pour trois chiens, il suffira de placer deux chiens au même endroit), bien entendu la théorie existe de manière plus générale et va au delà.

Quelques remarques sur le cas du carré :téléchargement (2)

  • Une seule étape pour le cas du carré en traçant les figures, on recréé une configuration du théorème de Pythagore pour le démontrer.
  • Si l’on trace les figure à chaque fois, nous obtenons une fractale. Le motif est répété à l’infini.

Le simulateur multi-chiens :

Vous cliquez soit sur le bouton « A partir d’un carré » ou  le bouton « A partir d’un triangle » ou sinon vous placez vous-même les 4 chiens en cliquant 4 fois dans la zone blanche (le bouton « étape suivante » deviendra actif)

Y aller en plus grand!

Le simulateur maître-chiens :

Vous cliquez soit sur le bouton « A partir d’un carré » ou  le bouton « A partir d’un carré2 » ou sinon vous placez vous-même le maître, son but et son chien en cliquant 3 fois dans la zone blanche (le bouton « étape suivante » deviendra actif)

Y aller en plus grand!

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