Evan* nous propose un petit jeu, enfin un petit tour de mathémagie! Je vous propose la solution à cette énigme bien connue.
Très bel exemple de petit tour magique!
La démonstration n’est pourtant pas si compliquée mais mérite qu’on utilise le calcul littéral.
Prenons notre fameux nombre en l’écrivant xyz comme nous devons juste faire la différence avec zyx, je vais supposer que x>z.
Tout d’abord, je vais montrer que le nombre issu de la soustraction est un multiple de 9 et 11.
Notre premier nombre s’écrit donc
x×100+y×10+z
Je le soustrais avec son composé.
A=x×100+y×10+z−(z×100+y×10+x)
Ce qui donne :
A=x×100+y×10+z−z×100−y×10−x
A=x×100−z×100+z−x
soit A=(x−z)×100+(z−x)
Et enfin
A=(x−z)×100−(x−z)
donc A=99×(x−z)
D’où A=9×11×(x−z)
Je vais montrer que le nombre issu ne peut-être que de la forme « a9c » avec a+c=9.
Etant donné que nous avons soustrait deux nombres inférieurs à 1000, nous obtenons donc un nombre inférieur à 1000, il peut donc s’écrire à trois chiffres!
Comme c’est un multiple de 11, le chiffre des dizaines est la somme du chiffre des unités avec celui des centaines.
Comme c’est un multiple de 9, la somme des chiffres est aussi un multiple de 9.
Considérons que A soit de la forme : abc non nul.
alors b=a+c
et a+b+c est un multiple de 9, il peut s’écrire de la forme a+b+c=9k
a+a+c+c=9k
2(a+c)=9k
Comme 2 n’est pas divisible par 9 alors a+c est divisible par 9, donc b est divisible par 9 (a+c=b).
Comme b est un chiffre, il est inférieur à 10, et ne peut-être nul (car si b = 0 alors a+c = 0 donc a=b=c=0 or A est non nul!)
donc b=9 et a+c=9
Maintenant je vais montrer que le nombre obtenu en ajoutant le composé de A et A, on obtient bien 1089.
B=abc+cba=a×100+b×10+c+c×100+b×10+a
B=(a+c)×100+2×b×10+a+c
B=9×100+2×9×10+9
B=900+180+9=1089
CQFD!
* Pour ceux qui ne connaisse pas Evan, c’est le chouette gars qui a créé le logo du site et des problèmes DUDU.
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