20 mai 2013

Les éléments géométriques d’Euclide

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Le plus ancien extrait d'une copie des éléments géométriques d'Euclide

Le plus ancien extrait d’une copie des éléments d’Euclide

Me voilà, en quête de recherche sur les travaux d’Euclide.

Euclide tout d’abord est un grec né dans l’antiquité qui est connu pour avoir rassemblé dans un ouvrage titanesque l’ensemble des connaissances mathématiques de l’époque et ce, de manière très rigoureuse du point de vue logique. Pour cela, je vous invite à voir la frise des mathématiciens que j’ai faite il y a 1 an (déjà!).

Il a tenté  méthodiquement de redémontrer toutes les propriétés connues en se basant sur 5 axiomes (ou postulats : affirmations admises).

  1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
  2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
  3. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l’une de ses extrémités comme centre.
  4. Tous les angles droits sont congruents.
  5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

elementsPrécisions :

  • pour l’axiome 2 , on dit aussi que la droite est le support du segment.
  • le 5e axiome s’appelle le postulat des parallèles, en effet la contraposée de cette affirmation est : « Si deux droites ne se coupent pas, alors la somme des angles intérieurs à toute sécante est égale à deux angles droits (180°). En conséquence, par un point donné, il ne peut passer qu’une parallèle à une droite donnée. »

Voici les axiomes traduites en 1632 par D. Henrion en François (vieux français)

axiome1

axiome2

axiome3

axiome4

axiome5

 

Bien entendu dans le livre I. d’Euclide sont  écrites 35 définitions et aussi 5 notions ordinaires (qui s’apparente à de l’algèbre) encore d’actualité.

  1. Des choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles.
  2. Si des choses égales sont ajoutées à d’autres choses égales, leurs sommes sont égales.
  3. Si des choses égales sont soustraites à d’autres choses égales, leurs différences sont égales.
  4. Des choses qui coïncident avec une autre sont égales entre elles.
  5. Le tout est plus grand que la partie.

J’ai choisi une démonstration que j’ai traduite rapidement , pourquoi? Vous allez voir :

theo3On y retrouve beaucoup d’éléments intéressants :

– la construction pyramidale des propositions mathématiques, on se sert de ce qu’on a démontré pour aller plus loin, tel est le fonctionnement des mathématiques, une des raisons pour laquelle les mathématiques ont connu des grands bouleversements comme par exemple, quand on a remis en cause le dernier postulat d’Euclide (« Et s’il était faux? »). Ce rejet a donné naissance à la géométrie géodésique et sphérique.

irrationnalite– Vous avez remarqué que la démonstration est un raisonnement par l’absurde, ce type de démonstration est très courant en Grèce antique. D’ailleurs le plus célèbre raisonnement par l’absurde est sans conteste, la preuve de l’irrationalité de la longueur de la diagonale du carré de côté 1, malheureusement non donnée dans le Tome X, proposition 117,j’aurais préféré la démonstration par « le pair et l’impair« ). Précision pour l’extrait donné, « incommensurable » signifie qu’une longueur ne peut être exprimée comme une proportion d’une autre longueur donc si la longueur de référence est un entier, alors la dite longueur mesurée est irrationnelle.

-Enfin, vous n’aurez pas manqué le fameux  CQFD, antologique non? En fait, originalement l’inscription grecque était hoper edei deixai, traduit en latin par quod erat demonstrandum ce qui a donné le « ce qu’il fallait démontrer« .

Voici le tome I où j’ai pioché les différents extraits.

Voir en plein écran

 

Je vous laisse sinon l’intégralité des éléments d’Euclide à lire sur gallica.

Il est téléchargeable soit sur Gallica ou ici

Ce document a été trouvé sur Gallica. Cette copie est propriété de la BNF.

Je rage  sur cette notion de propriété de la copie d’un document tombé dans le domaine public!  Facile donc de prolonger artificiellement le copyright sur des documents normalement public! Quand la BNF mettra-t-elle le logo CC-BY-SA?

Ce n’est que mon avis personnel qui ne saurait être entendu

comme celui d’un enseignant mais plutôt celui d’un défenseur du libre.

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Une Réponse

  1. Morinière - 21.11.2013

    Bonjour,

    je suis professeur de collège-lycée et je vous signale
    la parution d’un livre par Philippe Colliard, sur une construction
    méta-axiomatique (selon Hilbert) de toute la géométrie de collège :
    http://www.mathemagique.com
    qui est lisible par un collégien motivé et qui pourrait être une
    référence pour les professeurs.

    Cordialement,

    Mathieu.

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