L’appropriation d’une notion dans la compétence calculer

(11 Commentaires)

Bonjour à tous.

Bon voilà, je vais présenter un peu ma réflexion qui s’appuie en partie des échanges lors de formation et de groupe de réflexion.

La compétence « calculer » est complexe à mettre en œuvre au collège, il faut une base solide d’apprentissage pour acquérir une nouvelle notion et on a parfois tendance à aller vite (moi le premier).

L’acquisition d’une nouvelle notion se fait en 3 phases.

  1. Appropriation du sens et lien avec les notions déjà acquises.
  2. Phase procédurale
  3. Automatisation

Ces 3 phases sont importantes, et on a tendance à négliger ou plutôt passer rapidement sur la première phase, à peine le sens de la notion compris, on file sur la procédure, et là malheureusement peu de lien entre les deux sont faits.

Pour éclairer mon propos, je vais revenir sur la distributivité.

Cette notion est à acquérir au cycle 4 (vocabulaire développer ) et est à voir dès la 6eme au cycle 3 avec les astuces de calcul (distributivité sur des expressions numérique du genre 6 \times 15=6 \times 10+6 \times 5 ).

Généralement, les astuces de calcul sont comprises assez rapidement en 6eme, en revenant au sens de la multiplication, comme répétition de l’addition.

Au cycle 4, l’extension se fait du point de vue littéral et avec également des facteurs non entier. Ici, l’argument de la répétition ne tient plus forcément.

Alors d’autres processus plus ou moins complexes existent pour expliquer ou illustrer la distributivité, ce qu’on appellerait des preuves visuelles (ou aussi des représentations). Pas vraiment rigoureuses, mais suffisantes pour que les élèves comprennent cette notion avec des éléments qui leurs parlent. L’idée étant de faire du lien avec des connaissances personnelles qu’ils possèdent.

Donner une seule illustration de la distributivité n’est donc en soi pas assez suffisant, l’idée est d’en proposer des plurielles, puisque chaque élève a un vécu, des appétences uniques.

J’avais d’ailleurs une vidéo dessus recensant ces images mentales.

Bref, ces images font sens et permettent d’ « expliquer » ce qu’est la distributivité. (même si ici, il n’y a pas de preuve à proprement parler puisque la distributivité est intrinsèque au corps, mais je souhaite me servir de ma vidéo, donc là, on a plus des images mentales et des représentations.)

Enfin de je termine ensuite par une astuce pour développer, c’est ce que j’appelle la « procédure« , ou plutôt la démarche procédurale.

La vidéo :

Ici, le sens se perd un peu plus (les flèches, le facteur qu’on distribue), mais la procédure permet d’alléger la réflexion, de transformer le processus réflexif lié au sens vers un processus mécanique. C’est important car pour aborder un problème mathématique, il faut avoir l’esprit qui ne s’empêtre pas dans la réflexion calculatoire.

Ensuite, vient la phase de l’automatisation, où là l’esprit n’est plus accaparé par le calcul.

On n’a tendance à donner rapidement la procédure sans s’attarder suffisamment sur le sens. Cela génère des erreurs, il faut donc rappeler les images mentales qui font sens pour que l’élève comprenne son erreur. L’intérêt donc des images mentales est de vérifier la cohérence de ce que l’on fait a priori et a posteriori.

C’est un peu comme l’apprentissage des tables de multiplication, des élèves parfois compte sur leurs doigts reprenant le processus itératif de l’addition, ils ont compris la notion de multiplication, mais perdent de l’énergie dans ce processus et ne peuvent ainsi que trop difficilement aborder un problème mathématique.Le fait de connaître les tables permet d’aller plus vite, mais il ne faut pas perdre le sens, ce qui permet de se corriger.

Vous avez parlé du tableau de conversion?

J’aimerai revenir sur un autre écueil qui est celui du fameux tableau de conversion (surtout celui des aires). Cet outil est clivant. Des profs « pour », d’autres « contre », d’autres un peu des deux.

Tiens, j’en ai un pour vous : https://mathix.org/conversion/index.html

Les documents d’accompagnement sont assez explicites dessus, les élèves doivent le voir, mais ce ne doit pas être le canal principal pour expliquer la conversion d’aire (ou même longueur ou quoique ce soit d’autre).

1)On doit reprendre le processus suivant pour convertir 2,4cm² en m² :

A=2,4 cm ^2

Par une petite astuce de calcul

A=2,4 \times 1cm^2

Par définition de l’unité 1cm², c’est l’aire d’un carré de côté 1 cm.

A=2,4 \times 1cm \times 1cm

par définition des grandeurs simples : 1 centimètre est un centième de mètre.

A=2,4 \times 0,01m \times 0,01m

Astuce de calcul

A=2,4 \times 0,01 \times 1m \times 0,01 \times 1m

On réordonne et on calcule, on peut utiliser le glisse nombre pour la multiplication par 0,01 , les unités deviennent des centièmes :

A=0,024  \times 0,01 \times 1m \times 1m

A=0,00024 \times 1m \times 1m

Par définition du m² , c’est l’aire d’un carré de côté 1 m

A=0,00024 \times 1m^2

A=0,00024 m^2

Voilà donc là de manière sensée, on est passé par la notion des grandeurs simples.

2) On pourrait également donner l’image mentale que dans un carré de 1m, il y a 100 carrés de côté 1dm et dans un carré de 1dm, il y a 100 carrés de côté 1cm. Ce qui fait 100 \times 100 carrés de 1cm de côté dans un carré de 1 m de côté, soit 10 000 carrés.

Donc 1 cm² est 1 \over 10000eme de m² et on peut passer à la conversion par le glisse nombre par exemple : « Il faut 10 000 cm² pour faire 1m² donc on divise par 10000, les unités sont 10 000 fois moins fortes »

3) Ou sinon, et bien on adapte l’outil du tableau de conversion, on le construit avec les élèves, et on explique la démarche.

Certes l’outil fait perdre du sens , mais il permet aussi d’aller vite, de pouvoir se concentrer sur le problème mathématique.

Rien n’empêche de faire les deux, pourvu que les élèves puissent se reprendre avec les images mentales fortes des carrés.

De plus cet outil doit être vu et expliqué, les parents d’élèves eux, l’ont vu et ont tendance à l’utiliser. Il faut donc préparer les élèves à des outils qui n’ont pas de sens, et essayer de leur en donner en le construisant avec eux.

Le tableau de conversion a donc pour moi parfaitement sa place au sein des apprentissages et ne doit pas être renié.

À-propos :

Bon c’est une réflexion et mon avis aujourd’hui, rien ne m’empêchera de changer d’avis. Je sais que Claire Lommé, pour en avoir parlé avec elle, fera peut-être une réponse à cette réflexion.

Moi, j’aime bien Claire (je crois que c’est réciproque), on n’est pas tout le temps d’accord, mais on ne s’est jamais méprisé, elle a toujours su rester constructif tout comme j’ai essayé de l’être. Et puis chacun évolue, on a des opinions, et c’est le fait d’échanger qui nous fait évoluer. La critique doit permettre une réflexion et non assouvir du mépris.

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11 commentaires

  1. Youp Arnaud! Finalement je suis venue voir ce soir… Alors en fait on est d’accord : tout ce que je dis, c’est qu’il faut d’abord donner du sens avant d’utiliser des outils d’automatisation, comme toi. Après, je pense qu’on peut souvent se passer d’un tableau de conversion, qui est trop souvent mobilisé, un peu comme les opérations posées en calcul. Et enfin je pense qu’il ne faut pas indiquer de virgule dans un tableau de conversion, ce qui n’exclut pas du tout son usage, au contraire.
    Et moi aussi, j’t’aime bien. En partie parce que tu es sympa, en partie parce que tu es un super pro, et en partie parce qu’on peut ne pas être d’accord, ensemble.
    Mais là je crois qu’on l’est.
    Zoubs !

  2. Bonjour,
    Merci pour cet article intéressant.
    Juste une petite question: quel « logiciel » pour écrire des maths est utilisé sur la vidéo publiée dans cet article sur la distributivité ?

    jameso

  3. Oui ! Moi aussi je vous aime bien, Claire et Arnaud. En fait, vous êtes exactement sur la même ligne d’idée !
    A partir du moment où on a donné du sens, qu’on y revient régulièrement et qu’on évite les recettes pour « gagner du temps », rien n’empêche d’utiliser un outil qui soulage la charge cognitive.
    Mais le danger est de s’enfermer dans cet outil et d’y avoir recours systématiquement.
    Ce que, ni l’un, ni l’autre ne fait !
    Continuer comme ça l’un et l’autre, on vous adore !

  4. Salut Arnaud !
    Super Article.
    Et j’ai beaucoup aimé la vidéo. Tu me permets de l’utiliser ou pas pour mes élèves ?
    J’aime beaucoup l’idée de la phrase avec le facteurs les lettres et les colis. Je n’y avait jamais pensé je crois !

  5. Merci Arnaud !
    Il n’y a pas de lien pour y accéder par hasard ? Parce que je fonctionne comme ça avec eux depuis le confinement. Après, quand je l’utiliserai dans ma classe ça sera plus simple.
    Mais là, je fais des vidéos que je mets sur YouTube en « non répertorié » et je leur mets sur un pdf et sur les exercices dans e-lyco.

    Sinon, je les envoie directement sur cette page ?

  6. Bonjour,

    L’article est très intéressant tout comme l’ensemble du site que je consulte régulièrement.

    Je voulais juste revenir sur l’usage des flèches pour effectuer un développement.
    Cet usage ne m’a jamais convaincu car il ne fait pas sens à mes yeux et d’ailleurs de nombreux élèves tracent ces fameuses flèches à tort et à travers (surtout à tort) sur des expressions où la distributivité ne s’applique pas. De plus, l’aspect visuel cache tous les mécanismes mathématiques sous-jacents (difficultés liées aux symboles non écrits, reconnaissance de la forme de l’expression, la recherche de l’identité correspondante, etc.).

    C’est pour cela que depuis quelques années, je n’utilise plus les flèches mais je fais inscrire, sous l’expression à modifier, l’identité utilisée puis je fais comparer les deux avant de faire quoi que ce soit.

    Je ne sais pas si mon propos est très clair sans illustration.

    Je voulais simplement partager un point de méthodologie allant dans le sens de cet article.
    Afin de donner du sens à ce que les élèves font avant de passer à des « méthodes » expertes, certes plus rapides mais qui souvent masquent aux élèves toutes les difficultés et les raisonnements mis en oeuvre ce qui ajoute bien souvent des biais de compréhension, je pense qu’il faut prendre le temps de leur donner à entendre et à voir tous les raisonnements effectués. C’est certes long mais c’est à ce prix qu’ils pourront vraiment faire des mathématiques.

    A ce propos, je vous conseille la lecture de la brochure n°193 de l’APMEP :
    « La distributivité dans tous ses états »
    Ainsi que la brochure n°165 :
    « La règle dans tous ses états »

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