Catégorie : fractale

Une fractale supplémentaire, ou comment générer le triangle de Sierpinsky

ScratchcatfractVoilà que je reviens d’une formation où on a appris à coder avec Scratch. Bon comme je connaissais déjà l’outil, j’ai donc fait rapidement l’activité proposée par les formateurs (Merci Pascal et Damien). Pascal que je connais car il bosse avec moi au rallye math de la Sarthe, et bien il est revenu à moi avec un problème plutôt sympa.

Le voici :

Place 3 points, A, B et C.

Trace le milieu d’un des segments formés par ces 3 points.

Puis  on trace chaque nouveau point comme étant le milieu du segment formé par le point précédent et un des points A, B et C (choisi au hasard), on réitère avec ce nouveau point.

Que vont former les points?

Et bien voici la réponse.

On peut le voir directement ici.

Les sources

Bon ce serait aussi intéressant de se poser la question, pourquoi ça marche? Il y a une histoire de puissance de 2 derrière, mais quand même c’est plutôt marrant! 🙂

La version scratch

Le triangle

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Quelques fractales

Les Fratales

Voilà, j’ai rassemblé les animations sur les fractales dans une page, avec deux qui sont inédites sur le triangle de Sierpiński et le flocon de Kock Quadratique.

Y aller en plus grand!

et
Y aller en plus grand!

Le site

Le menu a quelque peu changé. J’ai créé deux rubriques : « un peu de pédagogie » rassemblant tout ce qui concerne les cours (expérimentation, calcul du salaire enseignant, programme, quelques trucs) …. et une autre « un peu de maths » qui concerne … les maths (entre autres : l’histoire des maths, les fractales et la frise des mathématiciens).

Bon weekend!

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Le tapis de Sierpiński

fractapisVoilà sur le même mode opératoire le tapis de Sierpiński (ou le carré de Sierpiński).

La particularité de cette fractale (en bref) :

Son aire tend vers 0.  A chaque étape, l’aire est réduite d’un rapport 8/9. (Sur les 9 carrés, un seul disparaît). Cette fractale est utilisée dans la fabrication des antennes de téléphones portables ou GPS : FracTenna1L’autosimilarité de la fractale permet la captation de différentes fréquences.

Le tapis


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Fractales : mise à jour de l’arbre de Pythagore avec un triangle rectangle non isocèle

canvasVoilà une grosse amélioration de mon fichier original.

Il est téléchargeable ici.

Les améliorations sont simples :

Possibilité de régler l’angle non droit du triangle rectangle, soit à l’aide du curseur (au clavier ou souris), soit en entrant sa valeur (suivi d’un entré qui rafraîchit la page.).


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angle

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Générer une fractale : l’arbre de Pythagore

canvasJe lorgnais sur une activité autour de l’arbre de Pythagore : une fractale bien connue.

Je cherchais un moyen d’en générer un à l’infini,  pour cela je me suis mis en tête de trouver un logiciel qui le permette.

J’ai lu que le logiciel Apophysis pouvait le faire… seulement, j’ai eu beau y passer du temps dessus, rien y a fait ….

je n’ai rien compris à ce logiciel.

Pourtant l’arbre de Pythagore est simple à faire du point de vue des itérations, un seul motif est répété : un carré et un triangle.

J’ai donc créé une petit page web, en javascript-HTML5, en 2 petites heures, c’était fait, attention au bout de 15 itérations, l’ordinateur est très sollicité, (il faut qu’il dessine 240 motifs, je pense que javascript n’est pas très optimisé pour les processus itératifs….)

Cliquez sur le bouton « +1 » pour dessiner l’arbre avec une itération de plus et « reset » pour revenir à l’itération 1.
L’image est générée à la volée par le javascript, c’est donc votre ordinateur qui génère l’image.
Pour enregistrer l’image il suffit que faire un clique droit dessus et d’enregistrer.

La page est téléchargeable ici


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Qu’est ce qu’une fractale?

KESAKO-fractales

Voilà en furetant sur le site KESAKO, donné par Maxime Beaugeois docteur en physique, chef de projets à Unisciel, qui participe à ce projet.

On peut accéder aussi directement aux nombreux épisodes scientifiques de KESAKO ici.

La vidéo décrit de manière parfaitement pédagogique ce qu’est une fractale, d’ailleurs je vous encourage à lire aussi le livre de feu Benoit Madelbrot sur les fractales, un peu complexe, mais assez riche pour voir comment il a défini la mesure d’une fractale….

livre mandel1

On y retrouve le célèbre exemple de la Bretagne que d’ailleurs aussi Benoit Madelbrot se sert pour expliquer la notion de fractales.

Bref, beaucoup d’anecdotes mathématiques qui pourront égayer les cours ….

A voir !

source : http://kezako.unisciel.fr/

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Les Fractales : Benoit Mandelbrot

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Un simple hasard et me voilà en train de regarder une intervention du défunt français (Cocorico)  Benoit Mandelbrot.

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Ce brillant homme a travaillé toute sa vie sur les fractales, tout d’abord ingénieur chez IBM il a utilisé ses connaissances en informatique pour générer des processus itératifs que sont les fractales.

Les Fractales

Des fractales, on en voit partout, comme dans le chou-fleur qui est une forme auto-similaire.

Ce sont des formes telles qu’une ligne infinie qui ne se croise pas dans un plan fini, ou une surface infinie dans un volume fini. Ces ensembles sont plus ou moins rugueux, c’est cette rugosité qui est mesurée.

Cet homme a tenté de montré que l’on pouvait donner une mesure à ces formes qui bizarrement  n’avait pas de mesure classique. C’est l’œuvre de sa vie.

L’ensemble de Mandelbrot

Sa deuxième trouvaille est l’ensemble qui porte son nom.

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Ensemble de Mandelbrot

Il a utilisé ce processus itératif en répétant (à partir de z=0) la fonction f : z -> z²+ c, c étant un nombre complexe défini.

En répétant cette fonction, on créé une suite de nombre, cette suite de nombre infini est appelé ensemble de Julia de cette valeur c.

Si cet ensemble généré est connexe, alors on retient que la valeur c appartient à l’ensemble de Mandelbrot.

Cet ensemble a la particularité d’être une fractale. Cette forme est autosimilaire ie une partie de la figure une fois agrandie est exactement elle-même, et connexe.

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Mais allons plus loin, une séquence plus sympa : ici. (très long à charger l’image est de 23 Mo)

Et puis pour mieux vous en parler la vidéo de l’intervention de Benoit Mandelbrot de chez TED.

Cette intervention a eu lieu peu de temps avant la mort de ce génie en 2010.

source : http://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.html

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