Critère de divisibilité par 7

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C’est une actualité mathématique peu commune, un enfant de 12 ans, Chika Ofili, a su découvrir un critère de divisibilité par 7 assez simple.

Pour savoir si un nombre est divisible par 7, il suffit d’ajouter le nombre de dizaines (pas le chiffre, le nombre!) au produit des unités par 5. Si ce nouveau nombre (plus petit) est divisible par 7 alors le nombre de départ l’est aussi.

Yvan Monka en a fait un exemple sans toutefois le démontrer :

La démonstration est en fait assez simple en passant par les modulos.

Tout nombre peut se décomposer de la forme a \times 10 +b avec b<10.

a \times 10 +b = 0[7]

En multipliant par 5 :

\iff  a \times 50 +5 \times b = 0[7]

Comme on sait que a \times 49 =0[7] car 49 est déjà un multiple de 7, on a

\iff  a  +5 \times b = 0[7]

a + 5 \times b correspond au 2e nombre dont il faut tester la divisibilité.

En tout cas, c’est un super critère de divisibilité ! 🙂

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8 commentaires

  1. C’est super. Mieux encore cela permet de calculer de maniere recurrente le modulo suivant 7.
    Cette technique est surement connu des mathematigiciens a qui ont demande le jour de la semaine a une certaine date. D’autant plus que 5 au carre egale 24 + 1. On a donc un algorithme qui nous permet de calculer le modulo suivant 7 en au plus autant de chiffre que possede le nombre.

  2. Bonjour,la même méthode est valable pour savoir si un nombre est divisible par 13 en multipliant le chiffre des unités par 4. C’est démontrable de la même manière. Un régal cette méthode!

  3. Il existe également un autre critère très ancien mais peu connu qui consiste à faire la différence entre le nombre des dizaines d un nombre et le double du nombre des unités
    exemple: 364 —-> 36 – 2 × 4 = 28 , 28 est divisible par 7 donc on en déduit que 364 l est aussi.

  4. Bonjour, le critère pourrait être simplifié en soustrayant 2 fois l’unité au lieu d’ajouter 5 fois l’unité. Exemple avec 546: 54 – 2×6 = 54-12 = 42. 42 est divisible par 7 donc 546 est divisible par 7. C’est plus rapide car on descend plus vite vers des nombres plus petits et on utilise la table de 2 au lieu de 5. 🙂

  5. Encore faut-il justifier que :
    n = 0 [7] 5n = 0 [7]
    (Première équivalence de votre démonstration.)
    On peut invoquer le théorème de Gauss pour cela.

    1. Le signe équivalent n’est pas passé.
      Je voulais dire qu’il fallait justifier que :
      n = 0 [7] ssi 5n = 0 [7]

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