Critère de divisibilité par 7

1ere 2nde maths Pour le fun
par Arnaud Durand
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C’est une actualité mathématique peu commune, un enfant de 12 ans, Chika Ofili, a su découvrir un critère de divisibilité par 7 assez simple.

Pour savoir si un nombre est divisible par 7, il suffit d’ajouter le nombre de dizaines (pas le chiffre, le nombre!) au produit des unités par 5. Si ce nouveau nombre (plus petit) est divisible par 7 alors le nombre de départ l’est aussi.

Yvan Monka en a fait un exemple sans toutefois le démontrer :

La démonstration est en fait assez simple en passant par les modulos.

Tout nombre peut se décomposer de la forme a \times 10 +b avec b<10.

a \times 10 +b = 0[7]

En multipliant par 5 :

\iff a \times 50 +5 \times b = 0[7]

Comme on sait que a \times 49 =0[7] car 49 est déjà un multiple de 7, on a

\iff a +5 \times b = 0[7]

a + 5 \times b correspond au 2e nombre dont il faut tester la divisibilité.

En tout cas, c’est un super critère de divisibilité ! 🙂

A propos de l'auteur : blank

Enseignant de mathématiques : collège Belle-vue de Loué Membre de l'équipe du "Rallye mathématique de la Sarthe" blog : mathix.org

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20 commentaires

  2. C’est super. Mieux encore cela permet de calculer de maniere recurrente le modulo suivant 7.
    Cette technique est surement connu des mathematigiciens a qui ont demande le jour de la semaine a une certaine date. D’autant plus que 5 au carre egale 24 + 1. On a donc un algorithme qui nous permet de calculer le modulo suivant 7 en au plus autant de chiffre que possede le nombre.

  3. Bonjour,la même méthode est valable pour savoir si un nombre est divisible par 13 en multipliant le chiffre des unités par 4. C’est démontrable de la même manière. Un régal cette méthode!

    2. @Gilles

      169
      => 16 + 9×4 = 52
      => 52 est un multiple de 13 (13×4) donc 169 est un multiple de 13

  4. Il existe également un autre critère très ancien mais peu connu qui consiste à faire la différence entre le nombre des dizaines d un nombre et le double du nombre des unités
    exemple: 364 —-> 36 – 2 × 4 = 28 , 28 est divisible par 7 donc on en déduit que 364 l est aussi.

  5. Bonjour, le critère pourrait être simplifié en soustrayant 2 fois l’unité au lieu d’ajouter 5 fois l’unité. Exemple avec 546: 54 – 2×6 = 54-12 = 42. 42 est divisible par 7 donc 546 est divisible par 7. C’est plus rapide car on descend plus vite vers des nombres plus petits et on utilise la table de 2 au lieu de 5. 🙂

  6. Encore faut-il justifier que :
    n = 0 [7] 5n = 0 [7]
    (Première équivalence de votre démonstration.)
    On peut invoquer le théorème de Gauss pour cela.

    1. Le signe équivalent n’est pas passé.
      Je voulais dire qu’il fallait justifier que :
      n = 0 [7] ssi 5n = 0 [7]

  7. @Gilles : 169 -> 16 + 9*4 = 16 + 36 = 52
    et 5 + 4*2 = 13
    13 appartient à l’ensemble {13; 26 ; 39}
    169, le carré de 13, est bien divisible par 13

  9. Qu’est-ce qu’on s’en fout qu’il soit Africain, Japonais,Lapon ou Belge. En quoi ce serait plus remarquable de la part d’un Africain? Sont-ils plus idiots que les autres?
    Ou comment dévaloriser ceux que l’on voudrait valoriser. Ridicule.
    Ce qu’il faut saluer ici c’est la jeunesse.

  10. Notre prof de maths nous avait de chercher le critère de divisibilité par 7 . Ce que j’ai cherché et j’ai trouvé ça. C’est vraiment sympa .Je félicite ce garçon qui a trouvé cette astuce.

  11. Après vérification, le résultat est sur la version anglaise de Wikipedia depuis 2006 (https://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility_rule#Divisibility_by_7 voir l’historique des modifications de la page), or notre jeune « génie » est anglophone (il vit à Londres) et a sûrement accès à Internet. Par ailleurs le résultat figure aussi dans un livre en langue anglaise publié en 1954 (Mathematical Puzzles and Pastimes). Du coup, on peutse demander si le jeune Chika n’a pas tout simplement trouvé ça sur Internet ou dans un livre. De toute façon, c’est un résultat très ancien (ça date de quand l’algorithme d’Euclide ?). Reste à comprendre comment tout ça a pu être à ce point monté en épingle ? Peut-être pour mettre en exergue la réussite d’un enfant issu des minorités visibles (comme on dit de nos jours).

  12. Ca dérange ce que j’ai découvert en faisant quelques recherches ? Critère de divisibilité sur Wikipedia en anglais depuis 2006 et dans des livres encore plus anciens, comme celui que j’ai cité. Pourquoi supprimer mon post ?

  13. Bonjour, une question
    Si quelqu’un à par exemple un Théorème qui étudie le critère de divisibilité de tout entier naturel où doit il le présenter ou le publier, c’est à dire comme pour 7 , on peut avoir pour 17 ou 27 ou même 25 , c’est à dire tout entier naturel

  14. Bonjour,
    Ce « critère de divisibilité » par 7 qui consiste à vérifier si la somme du nombre des dizaines et du quintuple du chiffre des unités est un multiple de 7, est-il vraiment un critère de divisibilité ? C’est astucieux j’en conviens. et qu’un enfant de 10 ans ait pu l’énoncer est remarquable. Toutefois si on considère que l’utilité d’un critère de divisibilité est de faire une détection rapide de la qualité de multiple de 7 d’un nombre, n’est-il pas plus rapide de diviser ce nombre par 7 tout simplement ?

  15. J’ai trouvé une autre méthode qui a l’air un peu plus longue. Mais valable quand même. Il suffit de multiplier le nombre qui vient avant l’unité par 3 et ajouter ensuite le chiffre de l’unité. Si le nombre obtenu est divisible par 7 alors le nombre de départ l’est aussi. Ex:84.3*8+2=28. 28 est divisible par 7 donc 84 aussi

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