- 1ère étape : les fractions et nombres sous la forme d’une somme d’un entier et d’une fraction
- 2e étape : Vers les fractions décimales
- 2e étape A : Vers l’écriture décimale avec le scribe comptable….
- 2e étape B : Mesurer avec des mètres
- 3e étape : Les opérations : la soustraction (addition déjà faite)
- 4e étape : Les multiplications/division par 10 100 1000 en écriture en fraction décimale
- 5e étape : Les opérations : la multiplication
- 6e étape : Les opérations : la division décimale
Alors je vais sans doute enfoncer des portes ouvertes pour certains, mais j’avais pour moi besoin de refaire les étapes de construction des nombres décimaux en lien avec tous mes exerciseurs et animations personnelles.
Alors voilà comment je vois la construction de décimaux dans le cycle 3.
1ère étape : les fractions et nombres sous la forme d’une somme d’un entier et d’une fraction
Activité des bandes, construction des fractions comment élément de précisions.
On part de leurs expérimentations.
On propose aux élèves des bandes « unités » et on va mesurer par report les segments proposés à l’aide de ces bandes.
https://mathix.org/decibande/index.html?typejeu=0
Donc comme ça ne « tombe » pas pile-poil,on doit plier les bandes etc… on arrive à la notion de fractions comme partage et on définit les nouvelles mesures de la forme 3+2/5 par exemple.
A ce stade, il est tout-à-fait possible de travailler le repérage sur un axe gradué avec les découpages et au fait qu’on attende un nombre de la forme un entier + une fraction inférieure à 1 ou une fraction pour mesurer.
Il est important de préciser qu’historiquement c’est comme cela qu’on appréhendait les mesures.
On peut ensuite des outils de mesures comme des règles en tiers, quarts, cinquièmes …
https://mathix.org/regle_fraction/
Puis on peut créer des bandes en fonction du nombre demandé :
https://mathix.org/decibande/index.html?typejeu=2
Point de vigilance, on pourrait penser que lorsqu’on travaille la monnaie en CM, les élèves comprennent le sens de 5,21€, en fait on lit 5€ et 21 centimes (centimes = centièmes) ce qui signifie ni plus ni moins 5€ + 21/100€ , il n’y a donc pas d’ambiguïté sur le fait que les élèves ne maîtrisent pas totalement l’écriture décimale, d’ailleurs 5,2€ peut tout-à-fait signifier 5€+2/100€ pour eux, donc n’allons pas trop vite à construire l’écriture décimale.
La représentation de fraction sur un axe gradué
https://mathix.org/decoupe_fraction
2e étape : Vers les fractions décimales
On définit les fractions « spéciales » : les fractions décimales.
On peut définir ainsi les dixièmes d’unités, les centièmes d’unités etc..
Donc on repart sur les mesures avec des bandes unités qui sont prémarquées en dixièmes ou la règle graduée en dixième.
On fait un petit topo sur le fait que Viète (super grand mathématicien préférait les fractions décimales), mais pourquoi ?
Plus simple pour ajouter! Imaginons qu’on doit ajouter 3 nombres :
3u+2/5u +5u+ 4/5u+7u+3/5u = 15u + 9/5u
sauf qu’on veut des fractions inférieurs à 1u.
9/5u = 1u+4/5u ça on l’obtient en décomposant 9u en 5u+4u.
Donc 3u+2/5u +5u+ 4/5u+7u+3/5u = 16u + 4/5u
Alors qu’en dixième :
3u+4/10u+5u+8/10u+7u+6/10u= 15u+18/10u
Ici il est simple de voir les unités cachées dans les dixièmes ce sont les dizaines de dixièmes.
15u+18/10u=15u+1u+8/10u=16u+8/10u.
Le côté pratique est donc l’identification des unités cachées, ou des dixièmes cachés etc….
On gagne en praticité (ça se dit?), mais on perd de la précision par exemple 2u+1/3u n’est pas exprimable avec des fractions décimales.
On peut évoquer une représentation des décimaux à l’aide de cube.(https://www.mathix.org/cuboscope/)
2e étape A : Vers l’écriture décimale avec le scribe comptable….
On définit l’addition des nombres exprimées en fractions décimales.
Celle-ci reste complexe lorsque le nombre de fractions est grand.
On parle donc du côté historique avec l’ouvrage de la DISME de STEVIN (voir page 9 du document idée reprise de la formation de Bruno Rozanes et et Stéphanie EVESQUE).
On obtient donc une nouvelle notation des nombres pour mieux les ajouter. (voir les différentes écritures de nombres : https://mathix.org/nbstevin )
L’écriture décimale est donc une notation de l’écriture sous la forme d’un entier et de fractions décimales réduites pour rendre plus pratique les calculs. (les matheux sont astucieux!)
On peut retravailler le décibande avec les nombres décimaux pour se rappeler ce que cela signifie.
https://mathix.org/decibande/index.html?typejeu=1
https://mathix.org/decibande/index.html?typejeu=3
2e étape B : Mesurer avec des mètres
Le mètre est le nouvel étalon de mesure depuis la révolution.
Un dixième de m se note dm,soit 1/10m=1dm et donc par notation 0,1m=1dm.
1/100m=1cm et donc par notation 0,01m=1cm.
1/1000m=1mm et donc par notation 0,001m=1mm.
On fait de même avec les dizaines centaines et milliers de mètres.
L’idée est définir donc ces nouvelles unités avec les fractions et la notation décimale.
Et donc 23,45m = 2×10 m + 3×1m+4/10m+5/100m=2dam+3m+4dm+5cm.
Présenter l’affiche suivante :
Point de vigilance : ne pas donner trop vite le tableau de conversion.
3e étape : Les opérations : la soustraction (addition déjà faite)
Elle se définit comme l’addition.
4e étape : Les multiplications/division par 10 100 1000 en écriture en fraction décimale
On rappelle qu’il faut 10 dixièmes pour faire une unité, 100 centièmes pour faire une unité.
On rappelle qu’il faut 10 centièmes pour faire un dixième …
2,5 = 2+ 5/10=25/10
et si je veux multiplier tout par 10, alors le chiffre des unités deviendra dans les dizaines, celui des dixièmes dans les unités.
-> on part sur le glisse-nombre
5e étape : Les opérations : la multiplication
On fait comme STEVIN, mais on va simplifier son explication.
3,45×7,5.
Je reviens au calcul du produit 345×75 en multipliant par 100 puis par 10 (en gros par 1000)
avec le glisse nombres c’est plus simple.
Puis je calcule 345×75 , ce qui donne 25875.
Comme j’ai préalablement multiplié par 100 puis 10, je fais le contraire, je divise par 1000 (glisse-nombre).
Ce qui donne 25,875.
6e étape : Les opérations : la division décimale
Voilà une explication possible mais qui ressemble à ce que pourrait dire STEVIN, revenir à la notion de division décimale.
A propos de l'auteur : Arnaud Durand
Enseignant de mathématiques : collège Belle-vue de Loué Membre de l'équipe du "Rallye mathématique de la Sarthe" blog : mathix.org
Arnaud Durand a écrit 1113 articles sur mathix.org.
Vous avez aimé cet article ? Alors partagez-le avec vos amis en cliquant sur les boutons ci-dessous :
