Catégorie : Réflexions

Plan de travail numérique et papier sur les équations (4e)

Par blank

Bonjour à tous!

Bon je m’étais promis de faire ce chantier cette année.

Je passe la séquence sur les équations en autonomie totale. En fait, je souhaitais faire 3 séquences complètes sur la classe inversée (sans tout faire en classe inversée, l’idée est de varier les plaisirs quand même !).

Les équations étant un gros morceaux où les élèves ne sont pas du tout au même point! En effet, j’ai commencé les équations à travers l’activité flash, mais j’ai toujours des récalcitrants. Difficile pour certains élèves de s’approprier cette notion en pointillé alors qu’on est sur une autre notion (alors que pour d’autres ça les arrange).

J’ai donc passé cette séquence en classe inversée. Cette séquence devrait être réadaptées pour les 3e (juste à rajouter l’équation produit nul et x²=a).

Comme à mon habitude, je créé le besoin par une vidéo problème infaisable ou difficile faisable. (je mets en appétit),

puis si besoin :

puis graduellement, en passant par le programme de calcul pour résoudre et aussi l’animation que j’avais faite (la balance de Roberval), j’arrive à la résolution de problème avec les équations.

Voilà pour moi ça tiens la route, il y a plus qu’à tester!

Voilà ce que ça donne sur mon plan numérique :

Voilà le lien vers la construction du parcours (j’en ai profité pour résoudre un bug récalcitrant)

https://www.mathix.org/plan-numerique/index.html?fichier=equation

Pour la version papier :

Avec les fiches d’exercices (la partie problèmes vient de SESAMATHS):

La correction !

Vous avez aimé cet article ? Alors partagez-le avec vos amis en cliquant sur les boutons ci-dessous :

Licence Creative Commons

La réciproque du théorème de Thalès est fausse, pourquoi l’enseigner comme cela ? Et si on réécrivait le théorème de Pythagore ?

Par blank

Ouh lala, le titre est osé, mais tant pis, il illustre une discussion que j’ai eu avec Julien sur le théorème de Pythagore d’abord puis on a dévié sur le théorème de Thalès et c’est une réflexion que j’ai pu avoir certains de mes collègues …

Alors cet article n’a pour but que de poser un questionnement et non faire de la provocation, l’idée est claire dans mon esprit. C’est une vraie gêne que j’ai vis-à-vis du programme du cycle 4 tel qu’il est annoncé et je n’ai pas vraiment de solution satisfaisante.

I.Le théorème de Pythagore

Alors j’en avais déjà parlé là, d’ailleurs dans cet article, je montre la démonstration de la « réciproque du théorème de Pythagore » (je vous laisserai la voir,en plus elle fait l’objet d’un projet de preuve par DU²), cette démonstration repose sur le théorème de Pythagore direct et les triangles égaux.

Cela pose question surtout qu’en mathématiques pour tout le reste, on aura tendance à utiliser le mot réciproque surtout lorsque la démonstration ne découle pas du premier, autrement on parle directement d’équivalence.Or là, la réciprocité de ce théorème repose sur les triangles égaux, c’est évident pour les élèves et également des professeurs.

Souvent les élèves ont tendant à (re)calculer un côté et conclure en fonction de ce qu’il trouve, en fait ils utilisent les triangles égaux de manière implicite. ( notion vue 5e)

D’ailleurs au brevet, nous ne pénalisons pas les élèves pour ne pas faire la différence entre réciproque et théorème, je peux me poser la question si ce n’est pas pour cette raison.

En fait, le théorème de Pythagore se suffit amplement à lui-même et permet rapidement de démontrer qu’un triangle est rectangle ou non.

Peut-on parler de simplification de rédaction? Non car parfois les élèves ne savaient pas quoi choisir, contraposé, réciproque, sens direct avec une rédaction très figée. Alors que pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle, le théorème de Pythagore le peut, pour montrer qu’un triangle est rectangle, le théorème de Pythagore le peut aussi, pourquoi s’embarrasser d’une réciproque… qui ne sert à rien?

On pourrait arguer à juste titre que les élèves doivent travailler la notion d’implication, de réciproque, d’équivalence.

Sauf que comme je l’ai dit, on peut démontrer qu’un triangle est rectangle ou non en utilisant simplement le théorème de Pythagore.

Alors pourquoi ne pas transformer le théorème de Pythagore en une équivalence avec un « si et seulement si » et de démontrer le sens direct et réciproque rapidement? Ça simplifierait bien des tracas et surtout une égalité de traitement entre les professeurs qui vont accepter et ceux qui vont refuser.

Et puis…. cette notion de réciproque pose problème surtout avec le théorème de Thalès.

Les deux mots réciproques dans « réciproque du théorème de Pythagore » et « réciproque du théorème de Thalès », n’ont pas le même sens !

II.Le théorème de Thalès

Normalement si on a une propriété avec deux propositions P et Q : P→Q alors la réciproque est Q→P.(d’ailleurs elle fonctionne bien pour le théorème de Pythagore).

Entendons-nous, une réciproque d’un théorème existe toujours, elle est, dans certain cas, vraie, dans d’autres cas, fausse.

D’ailleurs la réciproque d’une implication fausse peut être vraie. Et si la réciproque d’une implication vraie est vraie, on parle d’équivalence.

Donc effectivement si on s’en tient à cette définition, le théorème de Thalès tel qu’il est écrit a bien une réciproque mais… pas celle-là.

Jouons à un jeu.

Le théorème de Thalès (avec l’utilisation des triangles semblables, la forme est plus simple et cohérente avec ce qu’on pourrait enseigner en 4e, au pire on dira que les longueurs des côtés entre les triangles sont proportionnelles, mais c’est long à écrire.) :

« Soient deux droites sécantes coupées par deux autres droites. Si ces dernières sont parallèles alors les deux triangles ainsi formés sont semblables. »

La réciproque de cette affirmation devient :

« Soient deux droites sécantes coupées par deux autres droites. Si les deux triangles ainsi formés sont semblables alors ces dernières sont parallèles. »

Un simple contre-exemple suffit pour montrer que cette proposition est fausse.

blank

Donc logiquement je suis en droit d’affirmer que la réciproque du théorème de Thalès n’est pas vraie.

On le sait, il y a plus et moins de conditions pour obtenir le parallélisme de deux droites.

Le moins, deux rapports égaux au lieu de trois.

Le plus, un ordre précis des points de concours.

En fait, on cherche à montrer que les triangles sont homothétiques l’un de l’autre, on va montrer que C, D et O sont l’image par une homothétie de centre O respectivement de A, B et O. Pour le point O c’est trivial donc on se limite à 2 points donc deux rapports.

Dans le rapport homothétique, le sens a une importance d’où l’ordre des points, on veut éviter ce cas-là (bien connu puisque très classique)

blank

On se retrouve donc bien avec ce type de figure lorsqu’on est dans le cas d’une homothétie. :

blank

donc cela pose question sur l’intitulé du théorème de Thalès lui-même tel qu’on l’enseigne en 4e et 3e.

Reprenons donc cet intitulé pour que la réciproque du théorème de Thalès soit cette fois-ci vraie.

Je propose :

« Soit deux droites sécantes coupées par deux autres droites,si ces dernières sont parallèles alors les deux triangles ainsi formés sont homothétiques. »

On ne perd rien sur le théorème direct, on a juste une précision sur la disposition des triangles l’un par rapport à l’autre.

Dans ce cas , la réciproque est vraie et les conditions sont tout à fait valables.

MAIS (il faut bien un mais) la notion d’homothétie est privilégiée en 3e (voir les repères de progressivité).

Donc que faire?

Doit-on apprendre un demi-théorème de Thalès en 4e (ce qui est déjà le cas d’ailleurs car on se limite au cas des triangles emboîtés) que l’on reformule ensuite en 3e?

J’en viendrai presque à me dire pour couper la poire en deux qu’on doit parler de triangles semblables en 4e et de parler du théorème de Thalès avec le mot semblables et d’évoquer la l’homothétie en 3e et de revenir sur la proposition du théorème de Thalès en disant qu’on perd une information cruciale, les triangles sont, en fait, homothétiques.

Quoi qu’il arrive, il faudrait déjà considérer le théorème de Thalès comme rapport entre deux triangles et non une simple égalité de rapports, car on perd la notion de transformation sous-jacente.

Bref ces points sur le théorème de Pythagore celui de Thalès m’amène à penser que la notion de réciproque est quand même très malmenée, rendu inutile dans un cas et fausse dans l’autre…

Doit-on continuer à galvauder la notion de réciproque? A quelle fin?

Vous avez aimé cet article ? Alors partagez-le avec vos amis en cliquant sur les boutons ci-dessous :

Licence Creative Commons

Rendre hautement cognitive une tâche réputée bassement cognitive : la trace écrite

Par blank

Bonjour à tous!

Je vous livre somme toute ma réflexion sur le sujet, comme toute réflexion, elle peut changer, vaciller. Communiquer sur ses questionnements est important pour moi, donc je m’y mets!

Alors tout d’abord, un peu de contexte : Je travaille, ou plutôt ma réflexion dans mon métier d’enseignant porte sur l’autonomie des élèves depuis 10 ans, ma porte d’entrée dans cette problématique a été le travail de groupe autour de tâches complexes où les informations manquent (connaissances ou données) ce qui requiert de prendre des initiatives. Pour moi, la prise d’initiative est un moteur de l’autonomie, pas le seul et c’est loin d’être suffisant, d’ailleurs, disons la première marche vers l’autonomie. Puis depuis quelques années j’expérimente des dispositifs qui s’apparentent à de la classe inversée (ou « renversée » -> Voir la classe renversée de CAILLET)

L’autonomie

Prendre une initiative, pour moi, c’est avoir assez d’assurance, pour se dégager temporairement de la structure du cours et de l’enseignant, c’est pouvoir donc suivre son propre parcours, parcours que l’on construit soi-même et qui n’est donc a priori pas construit par l’enseignant.

Alors être autonome, ça va plus loin, la temporalité joue un rôle clé, l’élève peut se dégager de la structure du cours et de l’enseignant quand il le souhaite et suivre son propre parcours, parcours qu’il construit lui-même.

En écrivant ses lignes plus qu’en le pensant, je me rend compte qu’a priori, on pourrait croire qu’il faudrait rendre anarchique nos élèves, pas vraiment… Quoique …

Donc avant d’aller plus loin, il faudrait donc différencier Autonomie, Indépendance, Marginalisation.

Un individu indépendant est une personne qui n’a pas besoin de ressources/systèmes supplémentaires pour subsister. Donc a priori si un élève est indépendant, on peut supposer qu’il a déjà les connaissances (ce sont les ressources), donc a priori, il n’est pas apprenant, donc il n’est plus élève. Cela signifierait que l’enseignant n’a rien à lui a apprendre, donc là, le rôle de l’enseignant doit être de le « nourrir » suffisamment, ou de confronter son savoir à un problème assez complexe pour lui.

Un individu marginal est une personne qui est en rejet du groupe, de l’institution, donc a priori un élève marginal n’est plus élève car il perd automatiquement son statut de par son rejet de la structure qui lui confère son statut. Donc il n’est pas apprenant non plus.

Une personne autonome est une personne qui peut subsister par des moyens choisis et non subis, donc on se rapprocherait de « l’élève » indépendant mais qui sait qu’il doit trouver des ressources. Il a également conscience de ce qu’il ne sait pas. Les ressources ou moyens d’accès à la connaissance sont choisis par lui. « Je choisis de voir l’enseignant, ou d’aller dans les livres, ou d’aller sur internet… pour combler un manque de …. » . Quelqu’un d’autonome est donc apte à prendre du recul sur la finalité de sa mission d’élève : Développer des compétences et connaissances (rigolo d’ailleurs car être autonome est elle-même une compétence…).

Disons que les élèves dans le respect de chacun, doivent pouvoir s’émanciper de la structure du cours s’il le souhaite, il ne s’agit pas d’être indépendant, mais de l’être si on le souhaite pour aller vers la connaissance souhaitée par un moyen choisi.

L’autonomie réside donc dans la capacité de l’élève à choisir de lui même cette émancipation.

Cela suppose 2 exigences :

  • Avoir assez d’assurance (Il faut donc que la structure du cours le mette en confiance)
  • Avoir le choix (donc il faut que l’enseignant laisse de la place au choix et accepte de lâcher prise)

Donc maintenant que ma réflexion sur ce qu’est l’autonomie est posée, je vais donc rebondir sur des expérimentations de classes inversées que j’ai découvert lors de mes travaux dans le groupe de réflexions sur les classes inversées et mon travail de formateur (que pour un an, d’ailleurs puisque j’ai décidé d’arrêter )

Il y a 4 ou 5 ans, j’ai donc mis en place un dispositif lié à la trace de cours. L’idée initiale était d’apprendre aux élèves à créer une fiche personnalisée, car une trace de cours que l’on donne n’est pas forcément adaptée à tous. Quoi de mieux qu’un élève qui créé la sienne ? Avouez-le on trouverais ça chouette? Laisse-t-on de la place à l’élève pour le faire?

Donc, j’ai conçu un livret de connaissance (un peu indigeste car complet et écrit petit) que je donne en début d’année. Je leur explique que pour moi c’est une ressource que je leur fourni mais que je souhaite qu’ils créent leurs cours à eux. Il est donc important que le livret soit accessible mais pas trop pour que les élèves ressentent le besoin de rédiger le cours autrement.

blank

Donc ici, je leur fourni une ressource, puis une autre à l’aide d’un QRcode , où il y a quelques vidéos, des exerciseurs etc (voir ici).

Donc ici, je leur donne des ressources « fiables » pour moi (normal ce sont les miennes). L’idée est de sécuriser l’élève dans la recherche d’informations pour le mettre en confiance : « Tu as de quoi trouver la réponse à tes questions »

Bref, donc la trace de cours dans ce dispositif s’écrit au fur et à mesure, en classe et chez lui en fonction de ce que vit l’élève. J’ai bien entendu quelques points de repère pour eux, comme les objectifs de chaque chapitre et où se situent les connaissances dans le livret (pour gagner en efficacité, l’idée étant de ne pas les noyer).

blank

Également, je leur signifie que ce sont des ressources personnelles mais que rien n’empêche d’aller voir mieux ailleurs, le but étant qu’ils trouvent des ressources qui leurs plaisent. Vous vous souvenez? Mettre en confiance et laisser le choix.

Donc ici, sans réellement théoriser à ce point, je souhaitais rendre autonome les élèves sur la trace écrite. Peut-on être autonome sur tout? Non, ou sinon l’élève n’a pas besoin de l’école comme lieu d’instruction, un bon livre d’exercices et internet lui suffirait. Je considère toutefois que l’école est aussi un lieu de socialisation important au regard des compétences psychosociales. Il faut donc se créer une focale : sur quoi je vais laisser les élèves la possibilité d’être autonome. Moi, je voulais qu’ils soient autonomes sur les créations de fiche pour apprendre.

Revenons à de la classe inversée un peu plus « classique » (est-ce qu’une classe inversée classique existe?), disons de niveau 1 selon Marcel LEBRUN où le cours est vu à la maison et les exercices tâches complexes sont exécutées en classe. Je reprendrais les mots de Olivier QUINET qui a fait un travail formidable sur la classe inversée qui, pour lui, est un vecteur d’égalité, d’accessibilité, où pour lui les enjeux liés à l’exercice et l’activité sont importants et doivent se faire en classe. Il a donc catégorisé la trace écrite comme étant un enjeu bassement cognitif car, ici, la trace écrite est liée à un recopiage.

Ici, donc le choix n’existe pas, donc pas d’autonomie, même si les élèves font la chose « seul & sans aide ». L’idée n’est pas de clouter au pilori Olivier QUINET car sa démarche de classe inversée est démentielle, juste de préciser qu’ici sa focale n’est pas de rendre l’élève autonome, mais plutôt de se libérer du temps classe pour que les élèves fassent de activités où sa présence comme soutien est primordial.

En fait, faire de classe inversée ne présuppose pas forcément de rendre l’élève autonome, juste de changer sa manière de faire pour avoir du temps avec eux en classe sur des tâches hautement cognitives qui nécessitent de l’aide ponctuellement de l’enseignant.

Par contre, je reste persuadé que le travail à la maison peut être un moment de tâches hautement cognitives, suffisamment accessibles : prendre le temps pour prendre du recul sur ses connaissances :

  • Qu’est-ce que j’ai besoin d’écrire du cours? (ie qu’est-ce que je ne sais pas)
  • Comment l’écrire de manière simple (forme : carte mentale, exemple appliqué…)

Cela revient à engager un processus réflexif sur soi et ce moment, on peut l’avoir aussi en classe sur un temps court et donc de manière répété mais aussi sur un temps long chez soi.

Cette fameuse trace de cours peut « vivre » en classe et chez soi. (Tiens cet exercice qu’on est en train de faire est un bon exemple, j’écris sa correction directement dans ma fiche, je ne connais pas l’hypoténuse, je place sa définition rapidement à l’aide d’un schéma sur la fiche etc.)

Bref, l’idée de fond dans cette réflexion, c’est qu’on ne donne peut-être pas assez le choix, laisser le choix pour développer l’autonomie.

Le plan de travail

D’ailleurs on en vient au plan de travail. Pour ceux qui ne savent pas, un plan de travail est une sorte de parcours intégral ou non à choix. L’élève doit aller d’un point A à un point B sur une chemin plus ou moins long.

Alors ici, le choix est relatif car cantonné au parcours et au choix du professeur donc l’élève n’est pas autonome. Il agit seul mais reste dépendant de ce document qu’est le plan de travail.

blank

Mais le plan de travail reste un type de classe inversée tout-à-fait viable pour moi (j’en fais d’ailleurs) car il permet de se dégager du temps pour se consacrer sur des élèves en difficultés, on nourrit les plus forts. Ici la focale pour la classe inversée est la gestion de l’hétérogénéité de rythme. On peut aussi responsabiliser les élèves comme certains qui peuvent devenir tuteurs sur certaines notions, ce qui permet une régulation des difficultés rencontrés par certains élèves de manière efficace.

L’enseignant change également de posture et ne se place plus comme le maître du temps. On laisse un choix relatif quant à s’attarder plus ou moins dans certaines notions de manière plus appuyées, mais l’action reste balisée.

Un collègue et ami me faisait la remarque que c’était pour lui un travail sur l’autonomie en prenant l’image d’un enfant à qui on dit d’aller se brosser les dents et puis se mettre en pyjama, il faut leur dire pour qu’ils y pensent, ils deviendront « autonomes » lorsque cette routine n’aurait plus besoin d’être explicitée.

Alors le gros travers ici, c’est qu’on parle d’une action répétée qui ne peut pas varier, c’est donc un apprentissage basique d’une succession d’actions et qui ne laisse la place à aucun choix, aucune réflexion. Donc non ici l’enfant devient-il autonome? Se pose-t-il des questions sur ce qu’il fait? Rien est moins sûr car la tâche reste basique et doit faire l’objet d’un rappel, la charge mentale est toujours possédée par l’adulte.

L’autonomie en effet repose pour moi sur des actions complexes ou des tâches complexes à résoudre. Il faut que l’enfant se questionne pour qu’on puisse percevoir la capacité de l’élève d’être autonome, il doit avoir la charge mentale du problème.

Pour conclure ma réflexion : Un élève ne deviendra autonome que :

  • si on lui laisse la place pour l’être.
  • si on accepte de lâcher prise sur les moyens mis en oeuvre par l’élève
  • si ce qu’on lui demande lui demande de la réflexion (un réel questionnement réflexif)
  • s’il se sent en confiance.
  • s’il a le choix des moyens

La conception d’un trace écrite personnalisée répond pour moi à tout ces critères, comme le travail de groupe autour de tâche complexe.

Le plan de travail, du moins dans la perception que j’en ai, me semble plutôt axé sur une différenciation de rythme et de contenu qui permet d’adapter les difficultés auprès des élèves afin qu’ils progressent mais je ne suis pas sûr du travail autour de l’autonomie.

Toutefois cela reste pour l’instant le fruit de ma réflexion, réflexion qui a évolué et qui évoluera sans nul doute!

Vous avez aimé cet article ? Alors partagez-le avec vos amis en cliquant sur les boutons ci-dessous :

Licence Creative Commons