Ouh lala, le titre est osé, mais tant pis, il illustre une discussion que j’ai eu avec Julien sur le théorème de Pythagore d’abord puis on a dévié sur le théorème de Thalès et c’est une réflexion que j’ai pu avoir certains de mes collègues …

Alors cet article n’a pour but que de poser un questionnement et non faire de la provocation, l’idée est claire dans mon esprit. C’est une vraie gêne que j’ai vis-à-vis du programme du cycle 4 tel qu’il est annoncé et je n’ai pas vraiment de solution satisfaisante.

I.Le théorème de Pythagore

Alors j’en avais déjà parlé là, d’ailleurs dans cet article, je montre la démonstration de la « réciproque du théorème de Pythagore » (je vous laisserai la voir,en plus elle fait l’objet d’un projet de preuve par DU²), cette démonstration repose sur le théorème de Pythagore direct et les triangles égaux.

Cela pose question surtout qu’en mathématiques pour tout le reste, on aura tendance à utiliser le mot réciproque surtout lorsque la démonstration ne découle pas du premier, autrement on parle directement d’équivalence.Or là, la réciprocité de ce théorème repose sur les triangles égaux, c’est évident pour les élèves et également des professeurs.

Souvent les élèves ont tendant à (re)calculer un côté et conclure en fonction de ce qu’il trouve, en fait ils utilisent les triangles égaux de manière implicite. ( notion vue 5e)

D’ailleurs au brevet, nous ne pénalisons pas les élèves pour ne pas faire la différence entre réciproque et théorème, je peux me poser la question si ce n’est pas pour cette raison.

En fait, le théorème de Pythagore se suffit amplement à lui-même et permet rapidement de démontrer qu’un triangle est rectangle ou non.

Peut-on parler de simplification de rédaction? Non car parfois les élèves ne savaient pas quoi choisir, contraposé, réciproque, sens direct avec une rédaction très figée. Alors que pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle, le théorème de Pythagore le peut, pour montrer qu’un triangle est rectangle, le théorème de Pythagore le peut aussi, pourquoi s’embarrasser d’une réciproque… qui ne sert à rien?

On pourrait arguer à juste titre que les élèves doivent travailler la notion d’implication, de réciproque, d’équivalence.

Sauf que comme je l’ai dit, on peut démontrer qu’un triangle est rectangle ou non en utilisant simplement le théorème de Pythagore.

Alors pourquoi ne pas transformer le théorème de Pythagore en une équivalence avec un « si et seulement si » et de démontrer le sens direct et réciproque rapidement? Ça simplifierait bien des tracas et surtout une égalité de traitement entre les professeurs qui vont accepter et ceux qui vont refuser.

Et puis…. cette notion de réciproque pose problème surtout avec le théorème de Thalès.

Les deux mots réciproques dans « réciproque du théorème de Pythagore » et « réciproque du théorème de Thalès », n’ont pas le même sens !

II.Le théorème de Thalès

Normalement si on a une propriété avec deux propositions P et Q : P→Q alors la réciproque est Q→P.(d’ailleurs elle fonctionne bien pour le théorème de Pythagore).

Entendons-nous, une réciproque d’un théorème existe toujours, elle est, dans certain cas, vraie, dans d’autres cas, fausse.

D’ailleurs la réciproque d’une implication fausse peut être vraie. Et si la réciproque d’une implication vraie est vraie, on parle d’équivalence.

Donc effectivement si on s’en tient à cette définition, le théorème de Thalès tel qu’il est écrit a bien une réciproque mais… pas celle-là.

Jouons à un jeu.

Le théorème de Thalès (avec l’utilisation des triangles semblables, la forme est plus simple et cohérente avec ce qu’on pourrait enseigner en 4e, au pire on dira que les longueurs des côtés entre les triangles sont proportionnelles, mais c’est long à écrire.) :

« Soient deux droites sécantes coupées par deux autres droites. Si ces dernières sont parallèles alors les deux triangles ainsi formés sont semblables. »

La réciproque de cette affirmation devient :

« Soient deux droites sécantes coupées par deux autres droites. Si les deux triangles ainsi formés sont semblables alors ces dernières sont parallèles. »

Un simple contre-exemple suffit pour montrer que cette proposition est fausse.

Donc logiquement je suis en droit d’affirmer que la réciproque du théorème de Thalès n’est pas vraie.

On le sait, il y a plus et moins de conditions pour obtenir le parallélisme de deux droites.

Le moins, deux rapports égaux au lieu de trois.

Le plus, un ordre précis des points de concours.

En fait, on cherche à montrer que les triangles sont homothétiques l’un de l’autre, on va montrer que C, D et O sont l’image par une homothétie de centre O respectivement de A, B et O. Pour le point O c’est trivial donc on se limite à 2 points donc deux rapports.

Dans le rapport homothétique, le sens a une importance d’où l’ordre des points, on veut éviter ce cas-là (bien connu puisque très classique)

On se retrouve donc bien avec ce type de figure lorsqu’on est dans le cas d’une homothétie. :

donc cela pose question sur l’intitulé du théorème de Thalès lui-même tel qu’on l’enseigne en 4e et 3e.

Reprenons donc cet intitulé pour que la réciproque du théorème de Thalès soit cette fois-ci vraie.

Je propose :

« Soit deux droites sécantes coupées par deux autres droites,si ces dernières sont parallèles alors les deux triangles ainsi formés sont homothétiques. »

On ne perd rien sur le théorème direct, on a juste une précision sur la disposition des triangles l’un par rapport à l’autre.

Dans ce cas , la réciproque est vraie et les conditions sont tout à fait valables.

MAIS (il faut bien un mais) la notion d’homothétie est privilégiée en 3e (voir les repères de progressivité).

Donc que faire?

Doit-on apprendre un demi-théorème de Thalès en 4e (ce qui est déjà le cas d’ailleurs car on se limite au cas des triangles emboîtés) que l’on reformule ensuite en 3e?

J’en viendrai presque à me dire pour couper la poire en deux qu’on doit parler de triangles semblables en 4e et de parler du théorème de Thalès avec le mot semblables et d’évoquer la l’homothétie en 3e et de revenir sur la proposition du théorème de Thalès en disant qu’on perd une information cruciale, les triangles sont, en fait, homothétiques.

Quoi qu’il arrive, il faudrait déjà considérer le théorème de Thalès comme rapport entre deux triangles et non une simple égalité de rapports, car on perd la notion de transformation sous-jacente.

Bref ces points sur le théorème de Pythagore celui de Thalès m’amène à penser que la notion de réciproque est quand même très malmenée, rendu inutile dans un cas et fausse dans l’autre…

Doit-on continuer à galvauder la notion de réciproque? A quelle fin?